数学建模,姜启源第三章 简单的优化模型

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1、第三章 简单的优化模型3.1 存贮模型3.2 生猪的出售时机3.3 森林救火3.4 最优价格3.5 血管分支3.6 消费者均衡3.7 冰山运输 现实世界中普遍存在着优化问题 静态优化问题指最优解是数(不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数 求解静态优化模型一般用微分法静 态 优 化 模 型3.1 存贮模型 问 题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产

2、一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系。问题分析与思考 每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。 10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+100 =4500 元，准备费5000元，总计9500元。 50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元。平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次平均每天费用最小吗?每天费用5000元 这是一个优化

3、问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数每天总费用的平均值 周期短，产量小 周期长，产量大问题分析与思考贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小模 型 假 设1. 产品每天的需求量为常数 r；2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2；3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建 模 目 的设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模 型 建 立0tq 贮存量表示为时间的函数 q(t

4、)TQ rt=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以 需求速率r递减，q(T)=0.一周期 总费用每天总费用平均 值（目标函数）离散问题连续化一周期贮存费为A=QT/2模型求解求 T 使模型分析模型应用c1=5000, c2=1，r=100T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元) 回答问题 经济批量订货公式（EOQ公式）每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ，用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次(周期), 每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货。允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当

5、贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时Q件 立即生产出来(或立即到货)现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足T一周期 贮存费一周期 缺货费周期T, t=T1贮存量降到零一周期总费用每天总费用 平均值 （目标函数）一周期总费用求 T ,Q 使为与不允许缺货的存贮模型 相比，T记作T , Q记作Q不允 许缺 货模 型记允许 缺货 模型不 允 许 缺 货允许 缺货 模型0q QrT1tT注意：缺货需补足Q每周期初的存贮量R每周期的生产量 R （或订货量）Q不允许缺货时的产量(或订货量) 3.2 生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人

6、力、设 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。问 题市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。分 析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随 时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大求 t 使Q(t)最大10天后出售，可多得利润20元建模及求解生猪体重 w=80+rt出售价格 p=8-gt销售收入 R=pw资金投入 C=4t利润 Q=R-C=pw -C估计r=2，若当前出售，利润为808=640（元）t 天 出售=10Q(10)=660 640g=0.1敏感性分析研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g

7、=0.1 设g=0.1不变 t 对r 的（相对）敏感度 生猪每天体重增加量r 增加1%，出售时间推迟3% 。 rt敏感性分析估计r=2， g=0.1研究 r, g变化时对模型结果的影响 设r=2不变 t 对g的（相对）敏感度 生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3% 。 gt强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由 S(t,r)=3建议过一周后(t=7)重新估计 , 再作计算。研究 r, g不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt w = w(t)p=8-gt p =p(t) 若 (10%), 则 （30%） 每天利润的增值 每天投入的资金 3.3 森林救火森林失火后，

8、要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题 分析问题记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t). 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小 关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题 分析 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形t1t20tBB(t2)分析B(t)比较

9、困难,转而讨论森林烧毁 速度dB/dt.模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费）1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度）2）t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度）4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3假设1） 的解释rB火势以失火点为中心， 均匀向四周呈圆形蔓延 ，半径 r与 t 成正比面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.模型建立b0t1tt2假设1）目标函数总费用假设3）4）假设2）模型建立目标函数总费用模型求解求 x使 C(x)最小结果解释 / 是火势不继续蔓延的最少队员数b0t1t2t其中 c

10、1,c2,c3, t1, ,为已知参数模型 应用c1,c2,c3已知, t1可估计, c2 xc1, t1, x c3 , x 结果 解释c1烧毁单位面积损失费, c2每个队员单位时间灭火费, c3每个队员一次性费用, t1开始救火时刻, 火势蔓延速度, 每个队员平均灭火速度.为什么? ,可设置一系列数值由模型决定队员数量x3.4 最优价格问题根据产品成本和市场需求，在产销平 衡条件下确定商品价格，使利润最大假设1）产量等于销量，记作 x 2）收入与销量 x 成正比，系数 p 即价格3）支出与产量 x 成正比，系数 q 即成本 4）销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数建模 与求解收入支

11、出利润进一步设求p使U(p)最大使利润 U(p)最大的最优价格 p*满足最大利润在边际收入等于边际支出时达到建模 与求解边际收入边际支出结果 解释 q / 2 成本的一半 b 价格上升1单位时销量的下降 幅度（需求对价格的敏感度） a 绝对需求( p很小时的需求)b p* a p* 思考：如何得到参数a, b?3.5 血 管 分 支背 景机体提供能量维持血液在血管中的流动给血管壁以营养克服血液流动的阻力消耗能量取决于血管的几何形状在长期进化中动物血管的几何形状 已经达到能量最小原则研究在能量最小原则下，血管分支处 粗细血管半径比例和分岔角度问 题模型假设一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于

12、同一平面血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动血液给血管壁的能量随管 壁的内表面积和体积的增 加而增加，管壁厚度近似 与血管半径成正比qq1q1 ABBCHLll1rr1 q=2q1r/r1, ?考察血管AC与CB, CB粘性流体在刚 性管道中运动 pA,C压力差， 粘性系数克服阻力消耗能量提供营养消耗能量管壁内表面积 2rl管壁体积(d2+2rd)l, 管壁厚度d与r成正比模型假设qq1q1 ABBCHLll1rr1 模型建立qq1q1 ABBCHLll1rr1 克服阻力消耗能量提供营养消耗能量机体为血流提供能量模型求解qq1q1 ABBCHLll1rr1模型 解释生物学家：结果与观察大致

13、吻合大动脉半径rmax, 毛细血管半径rmin大动脉到毛细血管有n次分岔 观察：狗的血管血管总条数推论n=？q2U(q1,q2) = cq103.6 消费者均衡问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别 曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱， 购买这两种商品，以达到最大的满意度。设甲乙数量为q1,q2, 消 费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相交 ），记作 U(q1,q2)=cU(q1,q2) 效用函数已知甲乙价格 p1,p2, 有钱s，试分配s, 购买甲乙数量 q1,q2,使 U(q1,q2)最大.s/p2s/p1q2U(q1,q2) = cq10模型 及 求解已知价格 p1,p2,钱 s

14、, 求q1,q2,或 p1q1 / p2q2, 使 U(q1,q2)最大几 何 解 释直线 MN: 最优解Q: MN与 l2切点斜率MQN结果 解释边际效用消费者均衡状态在两种商品 的边际效用之比恰等于它们 价格之比时达到。效用函数U(q1,q2) 应满足的条件A. U(q1,q2) =c 所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸 解释 B的实际意义效用函数U(q1,q2) 几种常用的形式 消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。 U(q1,q2)中参数 , 分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度。 购买两种商品费用之比与二者价格无关。 U(q1,q2)中参数 ,

15、 分别表示对甲乙的偏爱程度。思考：如何推广到 m ( 2) 种商品的情况效用函数U(q1,q2) 几种常用的形式3.7 冰山运输背景 波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的 成本为每立方米0.1英镑。 专家建议从9600千米远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水 从经济角度研究冰山运输的可行性。建模准备1. 日租金和最大运量船 型小 中 大日租金（英镑）最大运量（米3）4.06.28.051051061072. 燃料消耗（英镑/千米）3. 融化速率（米/天）与南极距离 (千米)船速(千米/小时)0 1000 40001350 0.1 0.30 0.15 0.450 0.2 0.6冰山体积(米3)船速(千米/小时)105 106 1071 3 58.4 10.5 12.6