第十二讲 相干照明衍射受限系统的成像分析

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1、第十二讲 相干照明衍射受限 系统的成像分析 1一 透镜的孔径效应 输入面紧贴 透镜的情况比较简单 ，可直接利用透镜孔径作为变 换积分域进行计算。 对于物在透镜后方，物面上被照明的区域是透镜的孔径沿会聚光 锥在物面上的投影。透镜孔径的衍射效应可以用在物面上孔径投 影的衍射效应做等效替代。被积函数增加一个因子：物在透镜前时，用几何光学近似，也就是考虑物面与透镜之间的 距离相对于透径直径而言不是很大的情况。这时光波从物到透镜 之间的传播可看做直线传播，并忽略透镜的孔径衍射。这样的条 件，在实用的绝大多数问题中都是能得到满足的。于是有 2课堂练习采用下图所示的光路对某一维物体作空间频谱分析，它所包含的

2、 最低空间频率为20周/mm，最高空间频率为200周/mm，照明光波长 为0.6微米,若希望谱面上最低空间频率与最高空间频率之间间隔 为50 mm,透镜的焦距应取多大?3课堂练习解答4成像系统的普遍模型 任意成像系统都可以分成三个部分：1、从物平面到入瞳平面为第一 部分；2、从入瞳平面到出瞳平面为第二部分；3、从出瞳平面到 像平面为第三部分。 光波在一、三两部分空间的传播可按菲涅耳衍射处理。第二部分的 透镜系统，在等晕条件下可当做一个“黑箱”来处理黑箱的两个边端分别是入瞳和出瞳，只要能够确定这黑箱的两个边 端的性质，整个系统的性质便可确定，不必深究其内部结构。 5光学系统“黑箱”的边端性质 为

3、了确定系统的脉冲响应，需要知道这个黑箱对点光源发出的 球面波的变换 作用，即当入瞳平面上输入发射球面波时，出瞳平 面透射的波场特性。 对于实际 光组，这一边端性质千差万别，但总可以分成两类： 衍射受限系统和有像差的系统 当像差很小或者系统的孔径和视场 都不大，实际 光学系统就可 近似看做衍射受限系统。这时 的边端性质就比较简单 ，物面上 任一点源发出的发散球面波投射到入瞳上，被光组变换为 出瞳 上的会聚球面波。 有像差系统的边端条件是，点光源发出的发散球面波投射到入瞳 上，出瞳处的透射波场明显偏离理想球面波，偏离程度由波像差 决定。 阿贝认为 衍射效应是由于有限的入瞳大小引起的，瑞利提出衍射

4、效应来自有限大小的出瞳。由于一个光瞳只不过是另一个光瞳的 几何像，这两种看法是等价的。衍射效应可以归结为 入瞳或出瞳 对于成像光波的限制，本书采用瑞利的说法。 6二 相干照明衍射受限系统的成像 分析 任何平面物场分布都可以看做是无数小面元的组合，而每个小面 元都可看做一个加权的函数。对于一个透镜或一个成像系统，如果能清楚地了解物平面上任一 小面元的光振动通过成像系统后，在像平面上所造成的光振动分 布情况，通过线 性叠加，原则上便能求得任何物面光场分布通过 系统后所形成的像面光场分布，进而求得像面强度分布。这就是相干照明下的成像过程。这里关键是求出任意小面元的光 振动所对应 的像场分布。 7任意

5、小面元的光振动所对应的像场分布-点扩散函数 当该面元的光振动为单 位脉冲即函数时，像场分布函数叫做点扩 散函数或脉冲响应 通常用 表示物平面上点 的单位脉冲通过成 像系统后在像平面上点 产生的光场分布 首先研究在相干照明下，一个消像差的正薄透镜对 透明物成实像的 情况 推导透镜点扩散函数的简图 8讨论方法物体放在透镜前距离为 的输入平面 上，在透镜后距离 为 的共轭面 上观察成像情况。假定紧靠物体后的复振幅分布为 ， 点处发出的单位 脉冲为 。沿光波传播方向，逐面计算三个特定平面上的场分布：紧靠透镜前的平面上的场分布 紧靠透镜后的平面上的场分布观察平面上的场分布这样就可最终导出一个点源的输入输

6、出关系。9紧靠透镜前后的光场复振幅分布利用菲涅耳公式，紧靠透镜前的平面上的场分布为省去撇号，略去常数相位因子，上式可写 此波面通过孔径函数为 焦距为 的透镜后，复振幅为10单位脉冲引起的复振幅分布即点扩散 函数 由透镜后表面到观察面，光场的传播满足菲涅耳衍射，于是物平面上的 单位脉冲在观察面上引起的复振幅分布即点扩散函数可写作 将 的表达式代入并略去包括-1在内的常数相位因子得 利用物像平面的共轭关系满足高斯公式，得到 11点扩散函数的化简条件积分号前的相位因子 不影响最终探测的强度分 布，可以略去与物面坐标有关的相位因子 在求物面上各点对 像面光场的贡献时，要参与积分，不可随意略去当透镜的孔

7、径比较大时，物面上每一物点产生的脉冲响应是一个 很小的像斑，能够对于像面上点光场产生有意义贡献的，必定是 物面上以几何成像所对应的以物点为中心的微小区域。在这个区 域内可近似地认为坐标值不变，其大小与点的共轭物坐标相同， 即可作以下近似式中， 是成像透镜的横向放大率 12点扩散函数的最后形式 通过近似后的两个相位因子都不再依赖于物面坐标 ，因 此不会影响像平面 上的强度分布，全可以略去。这样 一来 ，点扩散函数的形式成为 将横向放大率代入，则 式中， ，是物点对应的像点坐标 13点扩散函数的物理意义（1）在近轴成像条件下，点扩散函数只与像面坐标差有关，这说明透 镜成像系统是空不变的，即因此，透

8、镜的脉冲响应就等于透镜孔径的夫琅和费衍射图样 ， 其中心位于理想像点处。 透镜孔径的衍射作用明显与否，是由孔径线度相对于波长和像距 的比例决定的，为此对孔径平面上的坐标做如下变换，令代入点扩散函数表达式得 14点扩散函数的物理意义（2）当孔径大小比 大得多时，在 坐标中，在无限大的区域 内 的值均为1。这样 一来 这时 物点成像为一个像点，即几何光学理想像，因此几何光学是 波动光学的极限情况，“无限大”孔径的情况 15衍射受限系统的点扩散函数 透镜的点扩散函数，是一般光学系统的特殊情况，下面我们将其 推广到衍射受限光学系统 所谓衍射受限是指不考虑系统的几何像差，仅仅 考虑系统的衍 射限制 如果

9、忽略衍射效应的话，点物通过系统后形成一个理想的点像。 一般的衍射受限系统可由若干共轴球面透镜组 成，这些透镜既 可以是正透镜，也可以是负透镜，而且透镜也不一定是薄的 系统对 光束大小的限制是由系统的孔径光阑决定的，也就是说在 考察衍射受限系统时 ，实际 上主要是考察孔径光阑的衍射作用。 孔径光阑在物空间所成的像称为入射光瞳，简称入瞳；孔径光阑 在像空间所成的像称为出射光瞳，简称出瞳。对整个光学系统而 言，入瞳和出瞳保持物像共轭关系。 由入射光瞳限制的物方光束必定能全部通过系统，成为被出射光 瞳所限制的像方光束。下面我们为这样 的系统建立一个普遍模型 16成像系统的普遍模型 任意成像系统都可以分

10、成三个部分：1、从物平面到入瞳平面为第一 部分；2、从入瞳平面到出瞳平面为第二部分；3、从出瞳平面到 像平面为第三部分。 光波在一、三两部分空间的传播可按菲涅耳衍射处理。第二部分的 透镜系统，在等晕条件下可当做一个“黑箱”来处理黑箱的两个边端分别是入瞳和出瞳，只要能够确定这黑箱的两个边 端的性质，整个系统的性质便可确定，不必深究其内部结构。 17光学系统“黑箱”的边端性质 为了确定系统的脉冲响应，需要知道这个黑箱对点光源发出的 球面波的变换 作用，即当入瞳平面上输入发射球面波时，出瞳平 面透射的波场特性。 对于实际 光组，这一边端性质千差万别，但总可以分成两类： 衍射受限系统和有像差的系统 当

11、像差很小或者系统的孔径和视场 都不大，实际 光学系统就可 近似看做衍射受限系统。这时 的边端性质就比较简单 ，物面上 任一点源发出的发散球面波投射到入瞳上，被光组变换为 出瞳 上的会聚球面波。 有像差系统的边端条件是，点光源发出的发散球面波投射到入瞳 上，出瞳处的透射波场明显偏离理想球面波，偏离程度由波像差 决定。 阿贝认为 衍射效应是由于有限的入瞳大小引起的，瑞利提出衍射 效应来自有限大小的出瞳。由于一个光瞳只不过是另一个光瞳的 几何像，这两种看法是等价的。衍射效应可以归结为 入瞳或出瞳 对于成像光波的限制，本书采用瑞利的说法。 18出射光瞳决定的点扩散函数 由物点发出的球面波，在像方得到的

12、将是一个被出射光瞳所限制的 球面波，这个球面波是以理想像点为中心的。由于出射光瞳的限制 作用，在像平面上将产生以理想像点为中心的出瞳孔径的夫琅和费 衍射花样 物面上 点的单位脉冲通过衍射受限系统后在与物面共轭的 像面上的复振幅分布，即点扩散函数为 式中，是 与 和 无关的复常数； 是出瞳函数（常 称光瞳函数），在光瞳内其值为 1，在光瞳外其值为 零； 是光 瞳面到像面的距离，已不是通常意义下的像距。 还要说明，在推导公式时，同样略去了关于和的二次相位因子 出瞳的夫琅和费衍射图样 中心在几何光学的理想像点 处 19衍射受限系统的点扩散函数的普遍表达式 同样对物平面上的坐标 和光瞳平面上的坐标 做

13、坐 标变换，令得到如果光瞳对于 足够大时， 坐标中，在无限大区域内光瞳 函数都为1，点扩散函数变成当可以忽略光瞳的衍射时，点的脉冲通过衍射受限系统后在像面上 得到的仍然是点脉冲，这便是几何光学理想成像情况像点位于 20相干照明下衍射受限系统的成像规律 一个确定的物分布总可以很方便地分解成无数函数的线性组合， 而每个函数可按点扩散函数式求出其响应，因此成像规律不难得 到 然而，在像平面上将这些无数个脉冲响应合成的结果和物面照明 情况有关 物面上照明是相干的，则这 无数个脉冲在像平面上的响应便是相 干叠加 本节先讨论 相干照明情况，非相干照明情况留在下面去讨论 像的复振幅分布 可以按叠加积分公式表

14、达为物的复振幅 分布 与脉冲响应函数 的叠加积分 但是，在这个叠加积分出现了三组坐标，并不是严格意义上的卷 积 21理想成像的像分布上述卷积积分中的三组坐标之间是有联系的，因此卷积积分可改 写为实际上，这个坐标的转换意义是使物面上的坐标和像面上坐标归 一化 用理想成像的脉冲响应代入卷积积分便可得到理想成像的像分布理想像的分布形式与物的分布形式是一样的，只是放大了M倍 。22衍射受限成像系统的卷积积分 为将成像过程用标准的卷积形式表示，先将点扩散函数重新定义 一下代入卷积积分就变成因此，物通过衍射受限系统后的像分布是的理想像和点扩散函数 的卷积，这就表明，对于更普遍的情形，衍射受限成像系统仍可

15、看成线性空不变系统 23点扩散函数与光瞳函数的关系 对于经过坐标变换的点扩散函数有这说明点扩散函数是光瞳函数的傅里叶变换，由此可见光瞳函数 对于衍射受限系统成像的重要性 由于是空不变的，可以用原点处的脉冲响应表示成像系统的特性 ，即 24小结 本节的目的在于建立一个比较严格的理论基础，从而是光学传递 函数的应用能够更加可靠而且更加易于推广，易于被广泛接受严格的理论涉及的主要有两个方面，一是由于积分内的变量必须 的近似，二是由于物像坐标不同必须的坐标变换使用的研究方法是上一节给出的会聚光照明的菲涅耳衍射的结果 就是孔径的傅里叶变换结果得到，物通过衍射受限系统后的像分布是的理想像和点扩散 函数的卷积。这就表明，对于更普遍的情形，衍射受限成像系统 仍可看成线性空不变系统对于相干光照明衍射受限系统来讲，点扩散函数是光瞳函数的傅 里叶变换，由此可见光瞳函数对于衍射受限系统成像的重要性 25例题 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为放在如图所示成像系统的物面上，用单色光倾斜照明，平面波传 播方向在