层次分析法(杰敬夺)

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1、层次分析法（AHP）杰敬夺 2201309015 管理科学与工程课程内容n层次分析法概述n层次分析法原理n层次分析法的步骤和方法层次分析法概述n层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨堡 大学教授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代初 ，为美国国防部研究“根据各个工业部门对 国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题 时，应用网络系统理论和多目标综合评价方 法，提出的一种层次权重决策分析方法。层次分析法概述n这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质 、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基 础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程 数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性 的复杂决策问题提供简

2、便的决策方法。是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模 型和方法。层次分析法原理层次分析法根据问题的性质和要达到的总目 标，将问题分解为不同的组成因素，并按照 因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素 按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分 析结构模型，从而最终使问题归结为最低层( 供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目 标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的 排定。 层次分析法原理AHP 思想：首先：通过建立清晰的层次结构来分解复杂问题；其次：通过两两比较，用相对标度将人的判断标准 化，并逐层建立判断矩阵；然后：求解各判断矩阵的权重；最后计算方案的综合 权重并排序。核心思想：先分解后综合层次

3、分析法的步骤和方法1、建立层次结构模型 2、构造判断(成对比较)矩阵 3、层次单排序及其一致性检验 4、层次总排序及其一致性检验 1、建立层次结构模型n将决策的目标、考虑的因素（决策准则 ）和决策对象按它们之间的相互关系分 为最高层（决策的目的、要解决的问题 ）、中间层（考虑的因素、决策的准则 ）和最低层（决策时的备选方案）绘出 层次结构图。n注意：每一层中各元素所支配的元素数 一般不超过9个。目标层O(选择旅游地)P2 北戴河P1 苏杭P3 桂林准则层方案层C3 居住C1 景色C2 费用C4 饮食C5 旅途例：选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.2、构造判断(成

4、对比较)矩阵在确定各层次各因素之间的权重时，如果只 是定性的结果，则常常不容易被别人接受， 因而Santy等人提出：一致矩阵法，即：1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两 相互比较2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性 质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准 确度。2、构造判断(成对比较)矩阵n判断矩阵是表示本层所有因素针对上一 层某一个因素的相对重要性的比较。判 断矩阵的元素 用Santy的19标度方 法给出。n心理学家认为成对比较的因素不宜超过 9个，即每层不要超过9个因素。判断矩阵元素aij的标度方法标度含义1表示两个因素相比，具有同样重要性3表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍

5、微重要5表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要7表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要9表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要2，4，6，8上述两相邻判断的中值倒数因素i与j比较的判断aij，则因素j与i比较的判断aji=1/aij设要比较各准则C1,C2, , Cn对目标O的重要性A成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1, , Cn对O的权向量选 择 旅 游 地目标层O(选择旅游地)准则层C3 居住C1 景色C2 费用C4 饮食C5 旅途C1 C2 C3 C4 C5C1C2C3C4C5稍加分析就发 现上述成对比 较矩阵有问题 成对比较的不一致情况一致比较不一致允许不一致

6、，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况可作为一个排序向量成对比较满足 的正互反阵A称一致阵。 A的秩为1，A的唯一非零特征根为n 非零特征根n所对应的特征向量归一化后可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵 A， Saaty等人建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量w ，即一致阵 性质但允许范围是 多大？如何界 定？3. 层次单排序及其一致性检验对应于判断矩阵最大特征根max的特征向量，经 归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。 W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素 相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序 。 能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，

7、所谓 一致性检验是指对判断矩阵A确定不一致的允许范 围。定理：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n 定理：n 阶正互反阵A的最大特征根 n, 当且仅当 =n时A为一致阵由于 连续的依赖于aij ，则 比n 大的越多，A 的不 一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为 被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不 一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 数值的大小来衡量 A 的不一致程度。3. 层次单排序及其一致性检验定义一致性指标:3. 层次单排序及其一致性检验nCI=0，有完全的一致性nCI 接近于0，有满意的一致性nCI 越大，不一致越严重3. 层次单排序及其一致性检验n为衡量CI

8、的大小，引入随机一致性指标 RI。n RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51n1 234567891110随机一致性指标 RI一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.1及随机一致性指标的数值表，对 进行检验的过程。一般，当一致性比率 的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则 要重新构造成对比较矩阵A，对 aij 加以调整。时，认为定义一致性比率 ：3. 层次单排序及其一致性检验“选择旅游地”中准 则层对目标的权向 量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权

9、向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标 RI=1.12 (查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致 性检验正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算 精确计算的复杂和不必要 简化计算的思路一致阵的任一列向量都是特征向量 ，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可 取其某种意义下的平均。和法取列向量的算术平均列向量 归一化求 行 和归 一 化精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.0104.层次总排序及其一致性检验 n计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对 重要性

10、的权值，称为层次总排序。n这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。对总目标Z的排序为的层次单排序为即 B 层第 i 个因素对总目标的权值为：层的层次总排序为：B层的层次 总排序A B层次总排序的一致性检验当 时，认为层次总排序通过一致性检验。层次总排序 具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比率高的 判断矩阵的元素取值。 到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。n设B层 对上层（A层）中因素 （ ）的层次单排序一致性指标为 ，随机 一致性指标 ，则层次总排序的一致性比率为：记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量方案层对

11、C1(景色)的成对比较阵方案层对C2(费用)的成对比较阵CnBn最大特征根 1 =3.005 2 =3.002 5 =3.0 权向量 w1(3) w2(3) w5(3) =(0.595，0.277，0.129) =(0.082，0.236，0.682) =(0.166，0.166，0.668)选择旅游地第3层对第2层的计算结果w(2) 0.2630.595 0.277 0.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.0820.47530.1420.4290.4290.0553.0090.1750.1930.6330.09030.6680.1660.166

12、0.110组合权向量RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ =0.300方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T1.建立层次结构模型该结构图包括目标层，准则层，方案层。层次分析法的基本步骤归纳如下3.计算单排序权向量并做一致性检验2.构造成对比较矩阵从第二层开始用成对比较矩阵和19尺度。对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。计算最下层对最上层总排序的

13、权向量。4.计算总排序权向量并做一致性检验进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率 较大的成对比较矩阵。利用总排序一致性比率旅游问题(1)建模分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。分别表示苏杭、北戴河、桂林 。 （2）构造成对比较矩阵(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验成对比较矩阵 的最大特征值表明 通过了一致性验证。故则该特征值对应的归一化特征向量对成对比较矩阵 可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下： 计算 可知 通过一致性检验。对总目标的权值为：（4）计算层次总排序权值和一致性检验又决策层对总目标的权向量为：同理得， 对总目标的权值分别为：故，层次总排序通过一致性检验。可作为最后的决策依据。又 分别表示苏杭、北戴河、桂林，故最后的决 策应为去桂林。即各方案的权重排序为最终结果作业1、阅读硕士论文基于层次分析法的物流中 心选址问题研究 ，作者：张涛。 2、从文献中总结出层次分析法的优缺点。