《小学六年级奥数仁华思维导引——数论综合(1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学六年级奥数仁华思维导引——数论综合(1)（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、小学奥数辅导网：http:/ 京翰教育中心http:/ 涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题1 如果把任意n 个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n 是多少 ? 【分析与解】我们知道如果有5 个连续的自然数，因为其内必有2 的倍数，也有5 的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。所以 n 小于 5:当 n 为 4 时，如果其内含有5 的倍数 (个位数字为O或 5)，显然其内含有2 的倍数，那么它们乘积的个位数字为0；如果不含有5 的倍数，则这4 个连续的个位数字只能是1，2，3， 4 或 6， 7，8，9；它们的积的个位数字都是4；所以
2、，当n 为 4 时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能：当 n 为 3 时，有 123 的个位数字为6，234 的个位数字为4，345 的个位数字为0，不满足：当 n 为 2 时，有 12， 23，34，45 的个位数字分别为2，6， 4，0，显然不满足至于 n 取 1 显然不满足了所以满足条件的n 是 42 如果四个两位质数a，b，c，d 两两不同，并且满足，等式a+b=c+d那么，(1)a+b的最小可能值是多少? (2)a+b的最大可能值是多少? 【分析与解】两位的质数有11，13，17，19， 23，29，3l ， 37，41，43，47，53，59，6l ，67， 71
3、，73，79， 83，89，97小学奥数辅导网：http:/ 京翰教育中心http:/ 可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168所以满足条件的a+b 最小可能值为30，最大可能值为1683 如果某整数同时具备如下3 条性质：这个数与1 的差是质数；这个数除以2 所得的商也是质数；这个数除以9 所得的余数是5那么我们称这个整数为幸运数求出所有的两位幸运数【分析与解】条件也就是这个数与1 的差是 2 或奇数，这个数只能是3 或者偶数，再根据条件，除以 9 余 5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86 这 5 个数满足条件其中 86 与 50 不符合
4、， 32 与 68 不符合，三个条件都符合的只有14所以两位幸运数只有144在 555555 的约数中，最大的三位数是多少? 【分析与解】555555=51111001=357111337显然其最大的三位数约数为7775 从一张长2002 毫米，宽847 毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形， 那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米? 【分析与解】从长 2002 毫米、 宽 847 毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847 毫米的正方形， 这样的正方形的个数恰好是2002 除以847 所得的
5、商而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002847=2308，847308= 2 231，308231=17723177=3不难得知，最后剪去的正方形边长为77 毫米6已知存在三个小于20 的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质请写出所有可能的答案【分析与解】设这三个数为a、b、c，且 ab c，因为两两不互质，所以它们均是合数小于 20 的合数有4，6，8， 9，10， 12，14，15，16，18其中只含1 种因数的合数不满足，所以只剩下6，10，12， 14，15，18 这 6 个数，但是14=27，其中质因数7 只有 14 含有，无法找到两个不与 14 互质的数小学奥数辅导
6、网：http:/ 京翰教育中心http:/ 所以只剩下6，10，12，15，18 这 5 个数存在可能的排列所以，所有可能的答案为(6，10，15)； (10 ，12，15) ；(10 ， 15，18) 7 把 26，33，34，35，63，85， 91，143 分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1那么最少要分成多少组? 【分析与解】 26=213，33=311，34=217，35=57，63=237，85=5 17， 91=7 13， 143=11 13由于质因数13 出现在 26、91、143 三个数中，故至少要分成三组，可以分成如下3 组：将 26、33、35 分为一组，
7、91、34、33 分为一组，而143、63、85 分为一组所以，至少要分成3 组8 图 10-1 中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48 厘米，小圆直径30 厘米两只甲虫同时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远? 【分析与解】圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便最远小圆周长为30=307r，大圆周长为48，一半便是24，30 与 24 的最小公倍数时12012030=412024=5所以小圆上甲虫爬了4 圈时，大圆上甲虫爬了5 个12圆周长，即爬到了过A的直径另一点B这时两只甲虫相
8、距最远9设 a 与 b 是两个不相等的非零自然数(1) 如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值? (2) 如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值? 【分析与解】 (1)a与 b 的最小公倍数72=22233，有12 个约数： 1，2，3，4，6，8，9，小学奥数辅导网：http:/ 京翰教育中心http:/ 12， 18，24，36， 72不妨设ab: 当 a=72 时， b可取小于72 的 11 种约数， a+b72+1=73；: 当 a=36 时， b 必须取 8 或 24，a+b 的值为 44 或 60，均不同第一种情况中的值；：当
9、 a=24 时， b 必须取 9 或 18，a+b 的值为 33 或 42，均不同第一、二种情况中的值；当 a=18 时， b 必须取 8，a+b=26，不同于第一、二、三种情况的值；：当 a=12 时， b 无解；: 当 a=9 时， b 必须取 8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情况中的值总之， a+b 可以有 ll+2+2+1+1=17种不同的值(2)60=2235，有12 个约数： 1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60a、b 为 60 的约数，不妨设ab：当 a=60 时， b 可取 60 外的任何一个数，即可取11 个值，于是ab 可取 11 种不同的值：
10、 59，58，57，56，55，54， 50，48，45，40，30；当 a=30 时， b 可取 4，12， 20，于是 ab 可取 26，18，10；：当 a=20 时， b 可取 3，6，12，15，所以 a b 可取 17，14，8，5；当 a=15 时， b 可取 4，12，所以 ab 可取 11，3；: 当 a=12 时， b 可取 5，10，所以 a b可取 7，2总之， ab 可以有 11+3+4+2+2=22 种不同的值10 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳142米，黄鼠狼每次跳324米，它们每秒钟都只跳一次比赛途中，从起点开始每隔3128米设有一个陷阱，当它们之中有一个
11、掉进陷阱时，另一个跳了多少米 ? 【分析与解】由于3128142=114，3128324=92所以狐狸跳4 个3128米的距离时将掉进陷阱，黄鼠狼跳2 个3128米的距离时，将掉进陷阱又由于它们都是一秒钟跳一次，因此当狐狸掉进陷阱时跳了11 秒，黄鼠狼掉进陷阱时跳了9 秒，因此黄鼠狼先掉进陷阱，此时狐狸跳了9 秒. 距离为 9142=40.5( 米) 小学奥数辅导网：http:/ 京翰教育中心http:/ 11. 在小于 1000 的自然数中，分别除以18 及 33 所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0) 【分析与解】我们知道18， 33 的最小公倍数为18 ，33=198 ，所以每198
12、 个数一次1198 之间只有1，2， 3， 17， 198( 余 O)这 18 个数除以18 及 33 所得的余数相同，而999198=59，所以共有518+9=99 个这样的数12甲、乙、丙三数分别为603， 939，393某数 A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2 倍求 A等于多少 ? 【分析与解】由题意知4 倍 393 除以 A的余数， 等于 2 倍 939 除以 A的余数， 等于甲 603 除以 A的余数即 603A=a k；(2939)A=b k；(4393)A=c k于是有 (1878 603)A=b a；(1878 1572)A=b c
13、；(1572 603)A=c a所以 A为 1275，306，969 的约数， (1275 ，306，969)=17 3=51于是， A可能是 51，17( 不可能是3，因为不满足余数是另一余数的4 倍) 当 A为 51 时，有 60351=1142；93951=1821；39351=736不满足；当 A为 17 时，有 60317=358；93917=554；39317=232；满足所以，除数4 为 1713证明：形如11，111， 1111，11111，的数中没有完全平方数【分析与解】我们知道奇数的完全平方数是奇数，偶数的完全平方数为偶数，而奇数的完全平方数除以 4 余 1，偶数的完全平方
14、数能被4 整除现在这些数都是奇数，它们除以4 的余数都是3，所以不可能为完全平方数评注：设奇数为2n+1，则它的平方为24n+4n+1，显然除以4 余 114有 8 个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28， 30，31，33，44 块甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2 倍问：甲取走的一盒中有多少块奶糖 ? 【分析与解】我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5 倍八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216从 216 减去 5 的倍数，所得差的个位数字只能是1 或 6观察各盒糖的块数发现，没有个位
15、数字是6 的，只有一个个位数字是1 的数 31因此甲取走的一盒中有3l 块奶糖小学奥数辅导网：http:/ 京翰教育中心http:/ 15在一根长木棍上，有三种刻度线第一种刻度线将木棍分成10 等份；第二种将木棍分成12 等份；第三种将木棍分成15 等份如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段? 【分析与解】 10 ，12，15 的最小公倍数 10 ，12，15=60 ，把这根木棍的160作为一个长度单位，这样，木棍10 等份的每一等份长6 个单位； 12 等份的每等份长5 个单位； 15 等份的每等份长4单位不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14( 相应于 10，12，15 等份 ) ，共计 34个由于 5，6 的最小公倍数为30，所以 10 与 12 等份的等分点在30
