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1、1.9 无穷小量的比较与等价代换例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同 .不可比.观察各极限1定义2例1 求极限解即即 3例2 求极限解令则即例3 求极限解令则即4常用等价无穷小5定理1(等价无穷小替换定理)证6利用等价无穷小求极限是一种重要的求极限方法. 对于商的极限,整个分子、整个分母或分子、分母乘积 的因子可用等价无穷小代换.例4解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意7例5解解错8解91.10 函数的连续性一、连续函数的概念二、函数的间断点三、连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质10一、连续函数的概念1.变量的增量（改变量）112.连续的定义12
2、13例1证由定义2知143.左右连续定理115例2解右连续但不左连续 ,16右连续且左连续 ,174.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区 间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,18例4证19例5解20二、函数的间断点2122(1)跳跃间断点例6解23(2)可去间断点 例724解可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定 义, 则可使其变为连续点.如例7中 ,25第二类间断点例8解26例9解27三、连续函数的性质1、连续函数四则运算及绝对值运算例如,2、复合函数的连续性28例如,3、反函数函数的连续性严格单调的连续函数必有严格
3、单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.294、初等函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.说明（1）定义区间是指包含在定义域内的区间.（2）初等函数求极限的方法代入法.例10例11解解30例12 讨论函数当为何值时，在其定义域内连续？解函数在内连续， 因此，只要点连续，在其定义域内就连续.函数在31由即所以，当得时，函数在定义域内连续.32四、闭区间上连续函数的性质定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一 定在该区间上有界.例如,33定理3(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的 函数一定有最大值和最小值.注意 1.若区间是开区间, 定理不一定成立;2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.3435几何解释:M B CAma b推论 在闭区间上连续的函数必取得介于 最大值 与最小值 之间的任何值.36几何解释37例13证 由零点定理,例14 证明：方程 其中 ， 至少有一个正根，并且它不超过 。 证明为一连续函数，38由连续函数的介值定理知，至少有一个就是方程方程的一个正根;恰好是方程方程的一个正根， 因此，方程 其中 ， 至少有一个正根，并且它不超过 39
