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1、第三节 传递函数 一、一、传递函数的定义1.定义传递函数是线性定常系统在零初始条件下，输 出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。设线性定常系统的微分方程为：2. 关于传递函数的几点说明1、系统或元件的传递函数，也是描述其动态特性的一种 数学模型，它和系统(或元件)的运动方程是相互一一对 应的。若给定了系统(或元件)的运动方程式，则与之对 应的传递函数便可唯一的确定。2、传递函数与微分方程一样，是从实际物理系统中抽象 出来的，它只反映系统(元件)中输出信号与输入信号之 间的变化规律，而不反映原来物理系统(元件)的实际结 构。对于许多物理性质截然不同的系统(元件)，可以具 有相同形式的传递函数。例
2、如下图(a)和(b)所示的两种不同的物理系统，有 类同的传递函数，它们分别为：3、对于物理可实现系统，分子的次数m 低于分母 的次数n ，且所有系数均为实数。因为实际的物 理系统总是存在惯性，输出不会超前于输入。且 各系数都与系统元件的参数有关。4、 传递函数反映系统本身的动态特性，只 与系统本身的参数有关，与外界输入无关。 即传递函数只表示输出量与输入量的关系，是一 种函数关系。这种函数关系由系统的结构和参数 所决定，与输入信号和输出信号无关。5、 一个传递函数只能表示一个输入对一个 输出的关系，所以只适用与单输入单输出 系统的描述，而且系统内部的中间变量的 变化情况，一个传递函数也无法全面
3、反映 。6、传递函数是描述系统动态特性的一种数学 模型，但它是在系统工作在某个相对静止状态 时得出的。因此，传递函数原则上不能反映系 统在非零初始条件下的全部运动规律。7、传递函数可以写成零极点表达式 一般地，零点和极点可以为实数或复数。若为复数， 必共轭成对地出现，这是因为系统结构参数均为正实数的 缘故。把传递函数 的零、极点表示在复平面上的图形， 称为传递函数的零、极点分布图，如下图2-7所示。图中 零点用”表示，极点用”表示。图2-7 系统的零极点分布图二、二、典型环节及其传递函数自动控制系统种类很多，构成环节的类型就其物 理本质可能差别很大。但从数学分析的观点看， 任何一个复杂的系统都
4、仅有有限的几个典型环节 组成。这些典型环节是：比例环节、惯性环节、 积分环节、微分环节、振荡环节和延时环节。因 此，在研究系统动态特性时，熟悉和掌握各种典 型环节，有助于我们对复杂的系统进行分析研究 。1.比例环节输出量以一定的比例复现输入量，不失 真不滞后的环节，称为比例环节。图2-8 数字运算放大器如图所示是齿轮传动副，T1为输入转矩，T2为 输出转矩。2. 惯性环节输出量与输入量之间能用一阶线性微分方程描 述的环节称为惯性环节。其特点是存在一个储能元 件，在输入量突然变化时，输出不能立即复现输入 。故它的输出量的变化落后于输入量。图2-11 机械转动系统3. 积分环节输出量与输入量的积分
5、成比例的环节，称为积 分环节。其显著特点是输出量取决输入量对时间的 积累过程。输入量作用一段时间后，即使输入量消 失为零，输出量仍将保持在已达到的数值，故积分 环节有记忆功能。例：电容器充电的电流i 和电容电压u 的关系 为图所示，求传递函数。例2-13 如图所示的液压缸， 如果以流量q为输入量，以活 塞的位移x为输入量，并忽略 液压缸的泄漏及缸体和油液的 弹性。4. 微分环节输出量与输入量的微分成比例的环节，称为微 分环节。当输入量为单位阶跃信号时，输出量就是脉冲 函数，这在实际中是不可能的。因此，理想的微分 环节不能实现，在实际中用来执行微分作用的都是 近似的，称为实际微分环节，其传递函数
6、具有如下 形式：这个电路的传递函数是微分环节的传递函数与惯 性环节的传递函数相乘，所以，实际的微分环节都 是具有惯性的。当这个电路的TD=RC1时，可 近似得到理想微分环节 ，即G(s)TDs。5. 一阶微分环节和二阶微分环节一阶微分环节和二阶微分环节的微分方程分别为：相应的传递函数分别为：与微分环节一样，一阶微分环节和二阶微分环 节在物理系统中也不会单独出现，在其组成中必然 包含有惯性环节或振荡环节。系统中引入一阶微分 环节和二阶微分环节主要是用于改善系统的动态品 质。例2-16 如图2-16所示的无源RC电路，根据基尔霍夫定律 和欧姆定律可求得其传递函数为:可见，该电路的传递函数是由比例环
7、节、一阶微 分环节及惯性环节组成。6. 振荡环节振荡环节包含两种储能元件，并且两种能量能够相互 转换。因此，振荡环节的输出带有振荡的性质。图2-1所示的机械移动系统和图2-3所示的RLC路，当 01时，其运动规律可用振荡环节 描述。图2-1 机械移动系统图2-3 RLC电路在机械移动系统中，两种储能元件是储存 动能的质量m和储存势能的弹簧k。在RLC电 路中，两种储能元件储存电场能的电容c和 磁场能的电感L。7. 延迟环节延迟环节又称时滞环节、滞后环节等。延迟环节与惯性环节的区别在于:惯性环节从输 入开始时刻起就有输出，只是由于惯性，输出要滞 后一段才接近于所要要求的输出值；延迟环节从输 入开始之初并无输出，但t= 之后，输出就完全 等于输入，如图2-17所示。图2-17 延迟环节 的输入-输出关系 a) 输入信号 b) 输出信号比例环节延时环节积分环节微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节8. 几点说明几点说明 典型环节不是具体的元件，而是表示元件或系 统运动特性的数学模型。在实际系统中，一个元件 的数学模型可能是若干个典型环节的数学模型的组 合；反之，若干个元件的数学模型的组合也可能就 是一个典型环节的数学模型。 同一个元件取不同的信号作为输入量或输出量 、或者用于不同的系统，可能形成不同的典型环节 。
