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1、第二章微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学导数描述函数变化快慢 微分描述函数变化程度(从微观上研究函数)导数与微分英国数学家 Newton第一节第一节导数的概念 一、 引例 1. 变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为2. 曲线的切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率=割线MN的斜率的极限两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .为函数关于自变量的瞬时变化率的问题二、导数的定义 定义1 . 设函数在点存在,并称此极限为记作:则称函数若的
2、某邻域内有定义 , 在点处可导, 在点的导数. 若上述极限不存在 ,在点 不可导. 若也称在就说函数的导数为无穷大 .在 时刻的瞬时速度运动质点的位置函数曲线在 M 点处的切线斜率1. 设存在 , 则2. 已知则解: 3. 设存在, 且求所以4. 设存在, 求极限解: 原式存在,在点的某个右 邻域内则称此极限值为在 处的右 导数,记作(左)(左)定义2 . 设函数有定义,定理定理2. 2. 存在不存在单侧导数若极限例如,在 x = 0 处有若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就称函数在 I 内可导. 若函数与则称在开区间 内可导,在闭区间 上可导.且
3、例1. 求函数(C 为常数) 的导数. 解:即例2. 求函数的导数. 解: 即说明：对一般幂函数( 为常数) 例如，四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (P94) 四、 导数的几何意义 曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点;若切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的切线方程:法线方程:例7. 问曲线哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线与直线平行 ? 写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1) , (1,1) 处与直线平行的切线方程分别为即故在原点 (0 , 0) 有垂直切线五、 函数的可导性与连续性的关系定理1.证: 设在点 x 处可导
4、,存在 , 因此必有其中故所以函数在点 x 连续 .注意: 函数在点 x 连续未必可导.反例:在 x = 0 处连续 , 但不可导.即判断可导性不连续, 一定不可导. 直接用导数定义可导必连续, 但连续不一定可导;在求. 设其中在因故正确解法:时, 下列做法是否正确?处连续,第二节函数的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 一、四则运算求导法则 定理1.的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且此法则可推广到任意有限项的情形.推论:( C为常数 )( C为常数 )例1. 解:例2. 求证证: 二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 例1. 求反三角函数的导数.解: 设则, 则在点 x 可导,三、复合函数求导法则 定理3.在点可导复合函数且在点 x 可导,例2. 求下列导数:解: (1)(2)(3)例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.例3. 设求解:例4. 设解:初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数例7. 求解:关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导例8. 设求解:. 求下列函数的导数解: (1)(2)或思考: 若存在 , 如何求的导数?这两个记号含义不同练习:1、 设解:、
