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1、第四章 频率域图像增强张 萍电子科技大学 光电信息学院 E-mail: u频率域介绍u频率域平滑（低通）滤波器u频率域锐化（高通）滤波器u同态滤波器u傅里叶变换、性质及其实现-自学主要内容：u频率域介绍u频率域平滑（低通）滤波器u频率域锐化（高通）滤波器u同态滤波器主要内容：为为什么要在频频率域研究图图像增强一、频率域介绍l 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域 表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。l滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质l给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对于试 验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具l一旦找到一个
2、特殊应用的滤波器，通常在空间域采用硬件实现它n频域图像增强是指通过对图像进行傅立叶 变换，将图像从空间域变换到频域，并对 图像的频率成分进行相应处理，从而实现 图像增强的功能；n傅立叶变换是频域图像增强的基础工具；一、频率域介绍一、频率域介绍傅里叶变换的频率分量和图像空间特 征之间的联系：（1）变化最慢的频率成分(u=v=0)对应 一幅图像的平均灰度级一、频率域介绍傅里叶变换的频率分量和图像空间特 征之间的联系：（2）当从变换的原点移开时，低频对应着 图像的慢变化分量，如图像的平滑部分（3）进一步离开原点时，较高的频率对应 图像中变化越来越快的灰度级，如边缘或 噪声等尖锐部分注意频谱图中45方
3、向以及垂直方向上的频谱a)受损的集成 电路图像b) a图像傅里 叶谱ab频域滤波频域滤波实际上就是将原始图象f(x,y)进行DFT变 换,得到频域的F(u,v),然后将F(u,v)与频域滤波器 H(u,v)相乘得到滤波后频谱G(u,v),即G(u,v)=F(u,v)H(u,v)最后将G(u,v)进行IDFT变换即可得到频域滤波后 的图像一、频率域介绍频域滤波的步骤（1）用(-1)x+y乘以输入图像f(x,y)来进行中心变换;（2）由(1)计算图像的DFT,得到F(u,v); （3）用频域滤波器H(u,v)乘以F(u,v); （4）将(3)中得到的结果进行IDFT; （5）取(4)中结果的实部;
4、 （6）用(-1)x+y乘以(5)中的结果,即可得滤波图像。具体实施步骤如下:频频率域滤滤波 Gu,vHu,vFu,v一、频率域介绍lH和F的相乘在逐元素的基础上定义，即H的第 一个元素乘以F的第一个元素，H的第二个元素乘 以F的第二个元素l 一般，F的元素为复数，H的元素为实数l H为零相移滤波器，因为滤波器不改变变换的 相位，F中实部和虚部的乘数可以抵消频率域滤波的基本步骤思想：通过滤波器函数以某种方式来修改图像变换， 然后通过取结果的反变换来获得处理后的输出图像一些基本的滤波器：如何作用于图像？一、频率域介绍u 陷波滤波器u低通（平滑）滤波器u高通（锐化）滤波器n陷波滤波器u设置F(0,
5、0)=0(结果图像的平均值为零)，而保留其它 傅里叶变换的频率成分不变u除了原点处有凹陷外，其它均是常量函数u由于图像平均值为0而产生整体平均灰度级的降低u用于识别由特定的、局部化频域成分引起的空间图像 效果一、频率域介绍陷波滤滤波器举举例陷波滤滤波器由于图像平均值为0而产生整体平均灰度级的降低注意：本来经过陷波滤波器滤波后的图像的灰度平均值是为零的，因 此滤波后的图像就有负值像素存在，这里实际显示的图像是经过重新 标定后的图像原始图像处理结果低通滤波器：使低频通过而使高频衰减的滤波器被低通滤波的图像比原始图像少尖锐的细节部分 而突出平滑过渡部分对比空间域滤波的平滑处理，如均值滤波器n低通滤波
6、器一、频率域介绍n低通滤波器一、频率域介绍原图低通滤波函数低通滤波结果：模糊低通滤波器：使高频通过而使低频衰减的滤波器被高通滤波的图像比原始图像少灰度级的平滑过 渡而突出边缘等细节部分对比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子n高通滤波器一、频率域介绍n高通滤波器一、频率域介绍原图高通滤波函数高通滤波结果：锐化原图图高通滤滤波结结果高通滤滤波改进结进结 果一、频率域介绍因为F(0,0)已被设置为0，所以几乎没有平滑的灰度级细节， 且图像较暗在滤波器中加入常量，以使F(0,0)不被完全消除，如图所示， 对滤波器加上一个滤波器高度一半的常数加以改进（高频加强 ）u大小为MN的两个函数f(x,y)和h(x,
7、y)的离散卷积表 示为f(x,y)*h(x,y)，定义为：u对比空间域滤波：在MN的图像f上，用mn的滤波器 进行线性滤波：n空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系一、频率域介绍卷积定理u上式说明空间域卷积可以通过F(u,v)H(u,v)的乘 积进行反傅里叶变换得到u说明空间域乘法可以通过频率域的卷积获得u上述两个公式主要为两个函数逐元素相乘的乘法n空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系一、频率域介绍us(x,y)是冲激函数u该等式表明，乘以一个冲激的函数 s(x,y)的和 等于冲激函数在此位置的值再乘以冲激强度Au说明：将 指定为一幅图像，它 只在(x0,y0)处有为A的图像值，其它处的值全为0
8、定义：在 处强度为A的冲激函数表示为，并定义如下：一、频率域介绍n根据上式，原点处(0,0)单位冲激的傅里叶变换n下式表明在原点处(0,0)的单位冲激情况，用 表示一、频率域介绍n结论n假设 ，根据上式计算原点处(0,0) 空间域的卷积一、频率域介绍 上述公式表明，空间域和频率域中的滤波器组成了傅里叶 变换对 给出在频率域的滤波器，可以通过反傅里叶变换得到在空 间域对应的滤波器，反之亦然 滤波在频率域中更为直观，但在空间域一般使用更小的滤 波器模板 可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用 结果滤波器作为在空间域构建小滤波器模板的指导一、频率域介绍n高斯频率域低通滤波器函数对应空间域
9、高斯低通滤波器为一、频率域介绍n高斯频率域低通滤波器函数对应空间域高斯低通滤波器为频频率域高斯低通滤滤波器空间间域高斯低通滤滤波器频频率域高斯高通滤滤波器空间间域高斯高通滤滤波器频域滤波器越 窄，滤除的低 频部分越多， 图像越模糊。 意味着在空域 中滤波器越宽 ，模板就越大( 阶数越高)当H(u)有很宽的轮廓时(大的 值)，h(x)有很窄的轮廓， 反之亦然。当 接近无限时，H(u)趋于常量函数，而h(x)趋 于冲激函数两个低通滤波器的相似之处在于两个域中的值均为正。所 以，在空间域使用带正系数的模板可以实现低通滤波频率域低通滤波器越窄，滤除的低频成分就越多，使得图 像就越模糊；在空间域，这意味
10、着低通滤波器就越宽，模板 就越大一、频率域介绍u结论（低通滤波器）空间域滤波器有正值和负值，一旦值变为负数，就再也不 会变为正数一、频率域介绍u结论（高通滤波器） 频率域可以凭直观指定滤波器空间域滤波效果取决于空间模板的大小u为什么频率域中的内容在空间域要使用小空间模板u频率域介绍u频率域平滑（低通）滤波器u频率域锐化（高通）滤波器u同态滤波器主要内容：二、频率域平滑滤波器u 理想低通滤波器u巴特沃思低通滤波器u高斯低通滤波器u应用实例二、频率域平滑滤波器u 边缘和噪声等尖锐变化处于傅里叶变换的高频部分u平滑可以通过衰减高频成分的范围来实现u理想低通滤波器：尖锐u巴特沃思低通滤波器：处于理想和
11、高斯滤波器之间u高斯低通滤波器：平滑二、频率域平滑滤波器u 理想低通滤滤波器截断傅里叶变换中的所有高频成分，这些高频成 分处于指定距离D0之外频率矩形的中心在(u,v)=(M/2,N/2)，从点 (u,v)到中心（原点）的距离如下理想低通滤波器说明：在半径为D0的圆内，所有频率没有衰减地通过滤波器 ，而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉二、频率域平滑滤波器u 理想低通滤滤波器总图像功率值PT原点在频率矩形的中心，半径为r的圆包含 的功率，其中理想低通滤滤波器举举例500500像素的原图图图图像的傅里叶频谱频谱圆环圆环 具有半径5,15,30,80和230个像素 图图像功率为为92.0%,9
12、4.6%,96.4%,98.0%和99.5%理想低通滤滤波器举举例具有振铃现铃现 象结论结论 ：半径越小，模糊越大；半径越大，模糊越小原图半径是15的理想 低通滤波,滤除 5.4%的总功率半径是80的理 想低通滤波,滤 除2%的总功率半径是30的理想 低通滤波,滤除 3.6%的总功率半径是5的理想低通 滤波,滤除8%的总功 率，模糊说明多数尖 锐细节在这8%的功率 之内半径是230的理想低 通滤波,滤除0.5%的 总功率，与原图接近 说明边缘信息在0.5% 以上的功率中半径分别 为5，11 ，45和 68能量分别 为90， 95， 99和 99.5理想低通滤滤波器举举例具有振铃现铃现 象频率域
13、函数H(u， v)模糊且半径为5 的ILPFf(x,y)由黑色背 景下5个明亮的像 素组成，明亮点 可看作冲激对应空间域h(x,y) 中心开始的圆环周期f(x,y)*h(x,y),在每 个冲激处复制h(x,y) 的过程，振铃现象理想低通滤滤波器举举例具有振铃现铃现 象二、频率域平滑滤波器u巴特沃思低通滤滤波器n级巴特沃思低通滤波器(BLPF)定义如下：D0为截至频率距原点的距离，D(u,v)是点(u,v)距原点的距离注意：BLPF不象ILPF一样具有明显的截止频率，对于这种平 滑过渡的滤波器，通常定义一个截止频率的位置，使得该位置 H(u,v)的幅度将到其最大值的一部分。巴特沃思低通滤滤波器透
14、视图视图滤滤波器阶阶数从1到4的滤滤波器横截面应应用：可用于平滑处处理，如图图像由于量化不足产产生虚假轮轮 廓时时，常可用低通滤滤波进进行平滑以改进图进图 像质质量。通常， BLPF的平滑效果好于ILPF（振铃现铃现 象）。原图图半径是15的BLPF滤滤波半径是80的BLPF滤滤波半径是5的BLPF滤滤波半径是30的BLPF滤滤波半径是230的BLPF滤滤波巴特沃思低通滤滤波器 n 2阶阶数n=1无振铃铃和负值负值阶阶数n=2阶阶数n=5轻轻微振铃铃和负值负值 明显显振铃铃和负值负值阶阶数n=20与ILPF相似注：二阶阶BLPF处处于有效低通滤滤波和可接受的振铃铃特征之 间间ILPF巴特沃思低
15、通滤滤波器所有的滤滤波器都有半径为为5的截至频频率D0二、频率域平滑滤波器u高斯低通滤滤波器二维高斯低通滤波器(GLPF)定义如下：截止频率D0是幅值降到它的最大值的0.667处;高斯低通滤滤波器透视图视图滤滤波器各种D0值值的滤滤波器横截面原图图半径是15的GLPF滤滤波半径是80的GLPF滤滤波半径是5的GLPF滤滤波半径是30的GLPF滤滤波半径是230的GLPF滤滤波高斯低通滤滤波器GLPF不能达到有相同截止频率的二阶BLPF的平滑效果 GLPF没有振铃如果需要严格控制低频和高频之间截至频率的过渡，选用BLPF，代价是可能产生振铃u结论二、频率域平滑滤波器字符识别：通过模糊图像，桥接断
16、裂字符的裂缝印刷和出版业：从一幅尖锐的原始图像产生平滑、柔和的外观，如人脸，减少皮肤细纹的锐化程度和小斑点处理卫星和航空图像：尽可能模糊细节，而保留大的可识别特征。低通滤波通过消除不重要的特征来简化感兴趣特征的分析u低通滤波器的应用实例：模糊,平滑等二、频率域平滑滤波器字符识别举识别举 例如打印、传传真、复印文本等，字符失真、字符断裂等D0=80的高斯低通滤滤波器修复字符用于机器识别识别 系统识别统识别 断裂字符的预处预处 理人脸图脸图 像处处理原图图像D0=100的GLPF滤滤波,细纹细纹 减少D0=80的GLPF滤滤波，细纹细纹 减少卫卫星和航空图图像处处理原图图像D0=30的GLPF滤滤波D0=10的
