硬件描述语言第一章

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1、半导体物理与器件第三章固体量子理论初步本章学习要点：1. 介绍半导体的能带理论； 2. 掌握k空间能带图，电子的有效质量，空穴的概念； 3. 掌握量子态密度与电子能量之间的函数关系； 4. 掌握费米狄拉克分布函数，由此确定电子占据一 个量子态的几率与电子能量之间的函数关系,费米能级。1半导体物理与器件量子力学初步粒子的波粒二相性2半导体物理与器件量子力学初步q量子力学的基本原理m能量量子化光子能量E=hm波粒二相性德布罗罗意物质质波戴维逊维逊 -革末电电子散射实验实验m不确定性原理3半导体物理与器件由代入电子的德波波长很短，用 电子显微镜衍射效应小，可 放大200万倍。例：求静止电子经 150

2、00V 电压加速后的德波波长。解：静止电子经电压U加速后的动能4半导体物理与器件q薛定谔波动方程m一维非相对论性薛定谔波动方程m一维定态薛定谔方程5半导体物理与器件q波函数的物理意义m波函数用以描述粒子或系统的状态，本身是一个 复函数，因而不具有物理意义m波函数的模方是概率密度函数m概率密度函数代表在空间中某一点发现粒子的概 率。在量子力学中，我们无法精确确定一个电子的 位置，而只能确定在某处或某个区域内电子存在的 概率是多少。6半导体物理与器件q自由空间中的电子m在电子不受任何外界作用时，可看作自由电子， 用薛定谔方程来讨论自由电子的状态和时间无关 的方程定态解和时间有关 的解行波解7半导体

3、物理与器件m假设有向正x方向运动的自由电子，其运动可以表达为：8半导体物理与器件q关于单电子原子的三个重要结论（P.34 2.4.1）：1、对应简单势函数的薛定谔波动方程解引出的电子概率函数。2、束缚电子能级量子化。3、由分离变量法引出量子数和量子态概念。n=1, 2, 3, , l=n-1, n-2, n-3, , 3, 2, 1, 0 |m|=l, l-1, l-2, , 2, 1, 09半导体物理与器件3.1 固体的能带理论q能带理论是研究固体中电子运动的一个主要理论基础q为什么需要能带理论：m怎么样来描述电子m电子-全同性粒子m电子的状态：波失k，能量E；10半导体物理与器件3.1 固

4、体的能带理论q能带理论是单电子近似的理论m把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场 中的运动。（哈特里-福克自洽场方法）q通过能带理论理解mK空间能带图m电子、空穴m金属、绝缘体、半导体11半导体物理与器件电子共有化运动原子中的电子在原子核的势场和其它电子的作用下，分列在不同的能级上，形成所谓电子壳层q不同壳层的电子分别用1s;2s,2p;3s,3p,3d;4s等符号表示，每一壳层对应于确定的能量。q当原子相互接近形成晶体时，不同原子的内外各电子 壳层之间就有了一定程度的交叠，相邻原子最外壳层 交叠最多，内壳层交叠较少。（P.36 E2.11 Fig.2.10）12半导体物理与器件q原子组成

5、晶体后，由于电子壳层的交叠，电子不再完 全局限在某一个原子上，可以由一个原于转移到相邻 的原子上去，因而，电子将可以在整个晶体中运动。 这种运动称为电子的共有化运动q注意：各原子中相似壳层上的电子才有（近似）相同 的能量，电子只能在相似壳层间转移。q共有化运动的产生是由于不同原子的相似壳层的交叠 ，如图所示13半导体物理与器件能带的形成 原子靠近电子云发生重叠电子之间存在相互作用分立的能级发生分裂。从另外一方面来说，这也是泡利 不相容原理所要求的。氢原子的电子云径向密度分布，当两个原子 靠近之后，二者的电子云发生重叠，此时两个不同原 子的电子之间产生相互作用，导致原来相同的两个 1s能级就会发

6、生分裂，变成两个离散的能级。当大 量的原子组成晶体材料时，也会出现类似的情况。原 来大量简并的量子化能级将会分裂为一系列离散化的 密集能级，从而形成一个带状的允许能级。称为允带 。14半导体物理与器件如图所示为大量相同的原子靠得很近形成晶体材料之后，原来相同的电子能级就会发生分裂，变成一系列离 散的能级，这些离散的能级形成能带，其中的r0代表平衡状态下晶体中的原子间距。从上一章的内容中我们知道，晶体中的原子体密度在 1022cm-3的量级。那么1mm3内 就有1019个原子。简化假设为单 电子原子，则其中有1019个电子分布在同一个能带上，假定该能 带的宽度为1eV，则能带中分立 能级的平均宽

7、度就为110-19eV 。 P.43例3.1的结结果直观观地说说明 了这这个能量间间隔是多么的小r015半导体物理与器件实际的晶体中，每个原子包含不止一个电子。以3壳层原 子为例，当随着原子距离的缩减，最外层电子首先相互作 用导致n=3的能级分裂。进一步缩减距离导致次外层和内 层原子也分裂成能带。假定最终的平衡位置 在r0，则处于该系统 中的电子就处于一个 被禁带所隔开的两个 能带中。16半导体物理与器件s能级(l=0,ml=0,ms=1/2)，2度简并，交叠后分裂为 2N个能级；p 能级（l=1, ml=0, 1，ms=1/2 ）6度简并 ，交叠后分裂为6N个能级，d 能级（l=2, ml=

8、0, 1, 2, ms=1/2 ），交叠后分裂为10N个能级允带能带原子能级禁带禁带原子轨道原子能级分裂为能带的示意图dps能量E17半导体物理与器件实际晶体的能带分裂还会复杂很多。图为Si原子电子 系统示意图。对于n=3的外层价电子来说，其中两个分 布在能量较低的s轨道上，而可容纳6个电子的p轨道上有两个电子。P轨道：六个量子态S轨道：两个量子态18半导体物理与器件大量硅原子形成硅晶体的电子能级分裂示意图19半导体物理与器件定性理论（物理概念）：晶体中原子之间的相互作用 （泡利不相容原理），使能级分裂形成能带。 定量理论（量子力学计算）：电子在周期场中运动， 其能量不连续成能带。q 自由电子

9、的运动 晶体中电子的运动与孤立原子的电子、自由电子的运动不同： m孤立原子中的电子是在该原子的核和其它电子的势场中运动 m自由电子是在恒定为零的势场中运动 m晶体中的电子是在严格周期性重复排列的原子间运动， 单电子近似认为，晶体中的某一个电子是在周期性排列 且固定不动的原子核的势场以及其它大量电子的平均势 场中运动，这个势场也是周期性变化的，而且它的周期 与晶格周期相同。20半导体物理与器件自由电子的运动状态 对于波矢为k的运动状态，自由电子 的能量E，动量p，速度v均有确定 的数值。 波矢k可用以描述自由电子的运动状 态，不同的k值标志自由电子的不 同状态 自由电子的E和k的关系曲线，呈抛物

10、 线形状。 由于波矢k的连续变化，自由电子的 能量是连续能谱，从零到无限大的 所有能量值都是允许的。21半导体物理与器件近自由电子近似将电子看成是位于势阱中的近自由电子，而把周期性势场作为微扰，这样对于一维情况得到 ：在处，由于简并微扰，能带分裂，形成 一系列的禁带、允带，又由 于周期性边界条件玻恩一卡 尔曼条件，k只能取一些不 连续的点（k取值数与原子 总数N有关），这样晶体中的电子只能处在允带中的一 系列能级上。22半导体物理与器件允带出现在以下几个区（布里渊区）中：第一布里渊区第二布里渊区第三布里渊区23半导体物理与器件-/aE（k）0/ak允带 允带允带自由电子简约布里渊区由于E (k

11、) 具有对称性、周期性，因而可以把其它布里 渊区中的Ek曲线通过平移整数个2/a而放到第一布里 渊区内，从而构成简约布里渊区，相应，其中的波矢k称 为简约波矢。这样一来，我们要 标志一个状态需要标 明： （1）属于哪一个带 ； （2）它的简约波矢k 等于什么24半导体物理与器件E0kE0 简约布 里渊区允带允带允带禁带禁带25半导体物理与器件关于能带有以下结论：q一个能带只能有N 个允许的状态；q考虑电子有两种自旋状态，故一个能带能容纳2N 个电子；q对于复式格子，每个能带允许的电子数还要乘上原胞 内的原子个数；q对于简并能带，状态总数要乘以简并度。26半导体物理与器件以Si 为例:q Si

12、晶体每个原胞中包含2 个Si 原子（是复式格子，由两套面心 立方晶格，沿对角线方向错开1/4对角线长而形成）；q 假定一块晶体由N 个原胞构成，则这一块晶体中有2N 个原子；q 晶体共有8N 个价电子（每个Si 原子外层有4个价电子）；q 晶体的每个能带有2N 个允许态；q 形成晶体时，进行SP3杂化， 每个Si原子形成了4 个等价的SP3 轨道，原子间形成共价键时，其中的2 个等价（2 度简并）的轨 道为电子所占据，成为成键态；另外的2 个等价（2 度简并）的轨道没有电子所占据，成为反键态；成键态能量低于反键态；q 2 度简并的成键态形成的能带，共有4N(=2N2)个允许态，能容 纳8N 个

13、电子，此能带形成了价带。27半导体物理与器件q 2 度简并的反键态形成的能带，共有4N(=2N2)个允许态，也能 容纳8N 个电子，此能带形成了导带。q 因成键态能量低于反键态，相应的价带能级底于导带，导带位于 价带之上；q 在0 K 时，8N 个价电子正好填充了4N 个价带能级，价带成为满带而导带是空带，不导电；q 室温下，一部分价带电子跃迁到导带，这样两带均成为不满带而 导电。28半导体物理与器件3.2固体中电的传导固体中电流是由于电子的定向移动造成的q在满带中，所有电子状态被占据m首先在无外力情况下。电子也并非静止的处于某一 个固定的状态。在热扰动的情况下，电子可能增加 或减少自己的能量

14、，从而在各个k状态中跃迁（指 能量改变）。但是由于是满带，每有一个k状态的 电子改变了能量跑到了k状态，则相应的就有一个 电子填补了k状态，由于电子的全同性，相当于系统的状态没有任何改变，因而没有电流。29半导体物理与器件q当外力作用于满带时，假设某个电子获得了能量。而 跑到另一个k状态中，但由于是满带，所有的状态都 被占据，因而另一个k状态中的电子就需要填充到原 有的这个k状态中，即相当于两个电子状态上的电子进行了交换。由于电子是全同粒子，交换后所表达的 状态和原先的状态是完全一样的，因而系统的状态不 发生变化，自然也没有电流的产生。30半导体物理与器件q在不满带中，部分电子状态被占据。在没

15、有外力作用 的情况下，半满带内的电子可以在热的影响下改变自 己的能量而跑到别的k状态中。但由于Ek是偶函数（ 晶体的对称性），处于k状态和-k状态的几率相等，即有向一个方向运动的电子，平均地就有一个相应的 向相反方向运动的电子。即电子杂乱无章的热运动在 各个方向是等价而对称的，因而没有宏观电流。（k和电子的运动速度即方向有关） 31半导体物理与器件q对于半满带中的电子来说。当施加于外力F时：q由于外力的作用电子获得了能量和静动量，向某一个 方向运动的电子超过相反方向（改变了k空间的对称分布），因而表现出宏观电流。q由于电子在电场作用下造成的定向运动造成的漂移电 流为：qe电子电量，n电子密度，

16、用求和的形式表示，表明电流是电子向各个方向运动抵消后的净运动造成的。 32半导体物理与器件3.2.3有效质量q问题：什么叫质量？如何测量一个物体的质量？ m=N/g F=maq质量（惯性）是和作用力改变运动状态有关的量。对于晶格中的某一个电子来说：Fint非常复杂，难以确定。因而我们将公式简写为：其中加速度a直接与外力有关。参数m*对外力Fext表现出类似于惯性质量的性质，叫做有效质量。所谓有效 是指：“有效”的意义在于“它是有效的，但不是真实 的” 33半导体物理与器件q有效性表现在当我们用可控制的物理作用“Fext”作用于晶体中的电子时，有效质量可以简单地描绘出该作 用对该电子的影响。m教材p53页给出了一个对有效质量的直观解释 34半导体物理与器件有效质量与E-k图的关系能量的改变对应于状态的改变。在无外力作用的情况下，晶体中电子的能量是恒定的（平均）。当外力作用于 晶体电子时，其能量就要改变（平均），因而我们用能 量E和状态k之间的变化关系来描绘有效质量。q对应于经典理论：35半导体物理与器件先考虑自