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1、第二章第二章 插值法插值法引言引言拉格朗日插值拉格朗日插值逐次线性插值逐次线性插值均差与牛顿插值均差与牛顿插值差分与等距节点插值公式差分与等距节点插值公式埃尔米特插值埃尔米特插值1 1 引言引言一一 插值问题插值问题三三 插值类型插值类型例例思思练练二二 插值法插值法1例例思思练练一、插值问题解决此类问题就称为插值问题。2二、插值法例例思思练练几何意义：3例例思思练练4三、插值类型根据插值函数的类型分为：1)多项式插值：函数作成多项式。2)三角插值：函数作成三角函数的多项式。3)有理函数插值。 二元、三元函数也有类似的插值。4)分段插值：函数作成分段多项式。例例思思练练2 2 拉格朗日插值拉格
2、朗日插值一插值多项式的存在唯一性一插值多项式的存在唯一性二线性插值与抛物线插值三拉格朗日插值多项式三拉格朗日插值多项式四四 插插 值值 余余 项项1一、插值多项式的存在唯一性例例思思练练2例例思思练练根据代数知识，由克兰姆法则，方程组的解 存在唯一的充要条件是欲求解的线性方程组的系 数行列式不为零。因此，在这里的系数行列式为此行列式就是著名的范德蒙行列式。 3例例思思练练4例例思思练练介绍两种最简单的插值：5例例思思练练二、线性插值与抛物线插值例例思思练练1 线性插值6拉格朗日插值形式：均差形式,牛顿插值：基函数特点：7例例思思练练2 抛物线插值只要确定基函数就可以求出抛物线插值（二次插 值）
3、多项式的表达式。8例例思思练练抛物线插值（二次）插值基函数特点：下面具体作插值基函数：9例例思思练练为抛物线（二次）插值的一个基函数。10例例思思练练同理,可作出另外两个基函数：11例例思思练练三、拉格朗日插值多项式12例例思思练练13例例思思练练14例例思思练练15例例思思练练16例例思思练练四、插值余项17例例思思练练18例例思思练练19例例思思练练20例例思思练练21例例思思练练22例例思思练练23例例思思练练事后误差估计24例例思思练练25例例思思练练26例例思思练练3 3 逐次线性插值逐次线性插值一一 线性插值线性插值二二 逐次线性插值逐次线性插值三三 埃特金逐次线性插值埃特金逐次线
4、性插值一、线性插值1例例思思练练二、逐次线性插值2例例思思练练3例例思思练练三、埃特金逐次线性插值4例例思思练练5例例思思练练6例例思思练练4 4 均差与牛顿插值均差与牛顿插值一一 均差及性质均差及性质二二 牛顿插值公式牛顿插值公式一、均差及其性质1、均差（差商）1例例思思练练2、均差的基本性质2例例思思练练证明三阶均差 的性质13例例思思练练4例例思思练练5例例思思练练3、均差的计算可列均差表如下6例例思思练练二、牛顿插值公式 1、牛顿插值拉格朗日插值公式可以看作直线方程两点 式的推广，如果从直线方程的点斜式7例例思思练练我们称这种形式的插值为牛顿插值。2、牛顿二次插值8例例思思练练9例例思
5、思练练3、n次牛顿型插值多项式10例例思思练练4、牛顿插值公式11例例思思练练12例例思思练练13例例思思练练5 5 差分与等距节点插值公式差分与等距节点插值公式一一 差分及性质差分及性质二二 等距节点插值公式等距节点插值公式一、差分及其性质1、差分1例例思思练练2例例思思练练3例例思思练练2、差分的性质：4例例思思练练：（-）（-）5例例思思练练3、计算差分可列差分表6例例思思练练二、等距节点插值公式-1、牛顿前插公式7例例思思练练2、牛顿后插公式8例例思思练练9例例思思练练10例例思思练练11例例思思练练6 Hermite6 Hermite插值插值一、已知函数值与导数值在节点上个数相等一、
6、已知函数值与导数值在节点上个数相等二、已知函数值和导数值在节点上个数不相等二、已知函数值和导数值在节点上个数不相等1. Hermite插值问题一、已知函数值与导数值在节点上个数相等1例例思思练练2例例思思练练2、三次Hermite插值1)、求插值多项式分析3例例思思练练4例例思思练练5例例思思练练6例例思思练练7例例思思练练8例例思思练练9例例思思练练：最后，三次Hermite插值多项式可表示为10例例思思练练2)、插值余项11例例思思练练12例例思思练练13例例思思练练3、Hermite插值1）求插值多项式分析14例例思思练练15例例思思练练16例例思思练练17例例思思练练18例例思思练练
7、最后，Hermite插值多项式可表示为19例例思思练练2）Hermite插值多项式的唯一性20例例思思练练3）插值余项21例例思思练练二、已知函数值与导数值在节点上个数相等1 方法及例题22例例思思练练：可设23例例思思练练 ：24例例思思练练25例例思思练练26例例思思练练27例例思思练练28例例思思练练深入思考深入思考题题1414题题1313题题1212题题1111题题1010题题9 9题题8 8题题7 7题题6 6题题5 5题题4 4题题3 3题题2 2题题1 1题题2121题题2020题题1919题题1818题题1717题题1616题题15151 1111110109 98 87 76
8、 65 54 43 32 2121213131414242423232222212120201919181817171616151525252626 2727373736363535343433333232313130302929282838383939巩固练习巩固练习题题1414题题1313题题1212题题1111题题1010题题9 9题题8 8题题7 7题题6 6题题5 5题题4 4题题3 3题题2 2题题1 1题题2121题题2020题题1919题题1818题题1717题题1616题题15151 1111110109 98 87 76 65 54 43 32 2121213131414242423232222212120201919181817171616151525252626 2727373736363535343433333232313130302929282838383939
