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1、第四节 二阶常系数线性齐次微分方程方程为二阶常系 数线性微分 方程其中 、 、 是已知常数,且为二阶常系 数线性齐次 微分方程下面介绍方程 解的结构.证明也是 的解，其中 、 为任意常数定理5-1 若函数 、 是方程 的两个解，则把 、 代入方程 的左边，得、 线性无关，是指不存在不全为零的常数 、 ,使 ,即常数否则称 、 线性相关定理5-2 若函数 、 是方程 的两个线性无关的特解，则是方程 的通解,其中 、 为任意常数将其代入以上方程, 得故有特征方程特征根由定理5-2,求方程 的通解的关键 是先要求出它的两个线性无关的特解.由于方程具有线性常系数的特点,而指数函数的导数 仍为指数函数,
2、故我们可假设方程有形如 的解.的解法方程有两个线线性无关的特解所以方程的通解为为特征根为为()当 ,特征方程有两相异实根根据判别式的符号不同,分下面三种情况讨论(2) 当 ,方程有两个相等的实根一特解为为特征根为为若 是原方程的解,应有所以方程的通解为为将 代入以上方程,得因 ,故所以特征根为为(3) 当 ,方程有一对共轭复根利用欧拉公式可将 和 改写成如下形式重新组组合得方程的通解为为不难看出 和 线性无关求解二阶阶常系数齐齐次线性微分方程的一般步骤骤:（1）写出相应应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,按下表写出方程的通解. ( 4) 若问题要求出满足初始条件的特
3、解,再把初始条件 代入通解中,即可确定 、 ,从而获得满足初始条件的特 解.例5-13 求下列方程的通解解 (1)特征方程为所以方程的通解为为解得所以方程的通解为为解得(2)特征方程为所以方程的通解为为(3)特征方程为解得解 特征方程为即特征方程有两个不相等的实数根所以所求方程的通解为对上式求导,得例5-14 求方程 满足初始条件 、 的特解.将 、 代入以上二式,得解此方程组，得所以所求特解为解 特征方程为例5-15 求方程 满足初始条件 、 的特解.即特征方程有两个相等的实数根所以所求方程的通解为对上式求导,得将 、 代入以上二式,得解此方程组，得所以所求特解为解 特征方程为特征根为所以所求方程的通解为例5-16 求方程 满足初始条件 、 的特解.对上式求导,得所以所求特解为将 、 代入以上二式,得主要内容二阶常系数线性齐次微分方程及其解法解法 特征方程法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其 通解的方法称为特征方程法.
