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1、第二章 线性方程组的敏度分析与消去法 的舍入误差分析求解第一章讨论如何解线性方程组。计算量，直接法的诱惑力如果线性方程组没有特殊的结构，应该选用何种数值方法？推荐选用这种方法的原因是什么？实际计算中，数据有误差，计算环境也是有限精度的， 此时这些数值方法求处的数值解精度如何？2.1 向量和矩阵范数 /* Norms of Vectors and Matrices */ 为了误差的度量 向量范数 /* vector norms */定义Rn空间的向量范数 | | 对任意 满足下列条件：（正定性 /* positive definite */ )对任意(齐次性 /* homogeneous */
2、) （三角不等式 /* triangle inequality */ )范数是一个n元连续函数（证明一下）pnip ipxx/11|= =v函数是一种范数吗？常用向量范数： =niixx11|v =niixx 122|vpnip ipxx/11|= =v|max| 1inixx=v证明一个量是n维向量空间的一个范数需要利用 一些著名的不等式Cauchy-Schwartz不等式Holder不等式范数的一个应用-讨论向量序列的收敛性 何谓向量序列？ 如何定义向量序列收敛比较合理？2-范数重要性质：正交变换长度不变，向 量间夹角不变1 Norms of Vectors and Matrices Ve
3、ctor Norms定义 向量序列 收敛于向量 是指对每一个 1 i n 都有 。 可以理解为定理Rn 上一切范数都等价。可以理解为对任何 向量范数都成立。范数等价定义1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms 矩阵范数 /* matrix norms */定义Rmn空间的矩阵范数 | | 对任意 满足：（正定性 /* positive definite */ )对任意(齐次性 /* homogeneous */ ) （三角不等式 /* triangle inequality */ )(4)* | AB | | A | | B | （相容 /* c
4、onsistent */ 当 m = n 时)In general, if we have | AB | | A | | B | , then the 3 norms are said to be consistent.Oh havent I had enough of new concepts? What do I need the consistency for?When you have to analyze the error bound of AB imagine you doing it without a consistent matrix norm1 Norms of Vect
5、ors and Matrices Matrix Norms 常用矩阵范数：Frobenius 范数 向量| |2的直接推广如何证明上述定义的非负函数是一个范数？ （验证方法）问题：矩阵的F范数是哪个矩阵的迹？和特 征值的关系矩阵范数的性质 任意两个矩阵范数都是等价的（表达式） 何谓矩阵序列的敛散性？ 矩阵序列收敛的充要条件 矩阵范数与向量范数相容性1 Norms of Vectors and Matrices Matrix NormsF-范数相容性：Frobenius 范数 向量| |2的直接推广对方阵 以及 有利用Cauchy 不等式可证。1 Norms of Vectors and Mat
6、rices Matrix Norms算子范数/* operator norm */定理2.1.3 设| |是一种向量范数。若定义则上的一个矩阵范数。矩阵范数称为从属向量范数| |的矩阵范数也称为由向量范数| |诱导出的算子范数举例说明算子矩阵范数的优点研究方程组与方程组解之间的关系。那个上界更紧一些？不等式越紧越好，那些情况下不等式是无法在 改进的1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms算子范数/* operator norm */由向量范数 | |p 导出关于矩阵 A Rnn 的 p 范数:则1 Norms of Vectors and Mat
7、rices Matrix Norms特别有：（行和范数）（列和范数）（谱范数 /* spectral norm */ ）矩阵 ATA 的最大 特征根 /* eigenvalue */定理2.1.5 设则（3）2范数的正交不变性算子范数的最优性矩阵的F-范数与向量的2-范数的关系。（P72 习题4）1 Norms of Vectors and Matrices Matrix Norms注： Frobenius 范数不是算子范数。 我们只关心有相容性的范数，算子范数总是相容的。若不然，则必存在某个向量范数| |v 使得 对任意A 成立。Counterexample ?问题：矩阵的列和范数和其转置矩
8、阵的行 和范数的关系。问题：矩阵的列和范数、行和范数和谱范 数的等价关系是什么？ 谱半径 /* spectral radius */定义 矩阵A的谱半径记为 (A) = ，其中i 为A 的特征根。ReIm (A)定理若A对称，则有证明：A对称若 是 A 的一个特征根，则2 必是 A2 的特征根。又：对称矩阵的特征根为实数，即 2(A) 为非负实数，故得证。对某个 A 的特征根 成立所以2-范数亦称为 谱范数。定理若矩阵 B 对某个算子范数满足 |B| 1，则必有可逆 ；证明 ： 若不然，则 有非零解，即存在非零向量 使得 一种特殊的矩阵幂级数收敛的必要条件？收敛的充分必要条件？和函数为什么？幂级数部分和满足
