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1、工程弹塑性力学王哲第十五章第十五章 塑性本构关系塑性本构关系第十万章第十万章 塑性本构关系塑性本构关系15.1 15.1 弹性本构关系弹性本构关系15.2 15.2 塑性全量理论塑性全量理论15.3 15.3 DruckerDrucker公设公设15.4 15.4 加载和卸载准则加载和卸载准则15.5 15.5 塑性增量理论塑性增量理论15.6 15.6 简单加载定律简单加载定律15.0 绪论塑性本构关系： 从宏观上讨论变形固体在塑性状态下的应力-应变关系，反映材料进入塑性以后的力学特性。两类塑性本构关系:全量理论/形变理论增量理论/流动理论建立在弹塑性小变形理论上，它建立了应力与应变全量间的
2、关系。描述材料在塑性状态时应力与应变速度或应变增量之间关系的理论均与Drucker公 设有密切关系直角坐标系中的的应力应变表达式(15.1)弹性模量15.1 弹性本构关系-广义虎克定律泊松比(15.2)15.1 弹性本构关系-广义虎克定律(15.2)(15.3)用张量表示：3个正应变相加 ：(15.4)或对于不可压缩 固体，=1/215.1 弹性本构关系-广义虎克定律(15.5)(15.2)方程互减 ：(15.6)(15.7)以主应力形式表示 :应力Mohr圆和应变 Mohr圆相似，应力 和应变主轴重合。15.1 弹性本构关系(15.8)用应力应变偏量表示 ：(15.9)(15.7)代 入应力
3、偏量分量和应 变偏量分量成正比 。形状改变只是由应 力偏量引起的。等效剪应力等效剪应变同理：等效正应力,式 (1.41)等效正应变,式(1.54)(15.10)15.1 弹性本构关系加载卸载(15.11)应力应变增量间满足广义虎克定律(1)、在弹性变形中应力主轴与应变主轴是重合的；(2)、平均应力与平均变形(或称体积变形)成比例；(3)、应力偏量分量与应变偏量分量成比例；(4)、等效正应力与等效正应变成比例。15.1 弹性本构关系弹性应变比能(15.12)单位体积内的弹性应变能体积变形比能形状改变弹性比能成正比Mises屈服条件也可称为 最大弹性形变能条件15.2 塑性全量理论全量理论的假定
4、：(15.14)应力主方向与应变主方向重合，在整个加载过程中主方向保持不变 。平均应力与平均应变成比例。应力偏量分量与应变偏量分量成比例 。 等效正应力是等效正应变的函数，对每个具体材料都应通过实验来确定 。应力Mohr圆与应变Mohr圆相似，应力Lode参数和应变Lode参数相等 。和塑性变形程度有关15.2 塑性全量理论(15.15)G与材料性质和塑性变形程度有关(15.16)应力偏量分量和应变偏量分量成正比(15.17)15.2 塑性全量理论(15.18)(15.20)(15.19)由式(15.17)得:设物体的体积是不可压缩的，即=1/2(15.21)15.2 塑性全量理论由式(15.
5、17)， (15.20)得:(15.22)与广义虎克定律 形式上非常相似解决具体问题比弹性力学复杂很多15.2 塑性全量理论acbO图15.1 单向拉伸曲 线(15.25)在弹性极限内复杂应力状态下:(15.26)(15.28)(15.27)在单向拉伸状态下:(15.9)形式上非 常相似根据单一曲线假定:15.2 塑性全量理论(15.28)=1/2由右图几何条件可得:(15.29)acbO(15.30)空间的应力状态问题转化为简单拉伸应力状态问题15.2 塑性全量理论(15.17)(15.31)(15.32)15.2 塑性全量理论(15.33)总应变=弹性应变+塑性应变由式(15.33)(15
6、.22)15.2 塑性全量理论(15.34)(15.34)或:15.2 塑性全量理论理想弹塑性材料E的表达式OA(a) 理想弹塑性材料图 15.2 理想塑性模型 E在弹性区域内(OA)在塑性区域内(AE)15.2 塑性全量理论线性强化弹塑性材料E的表达式在塑性区域内(AE)Oabdc(b) 理想弹塑性强化材料图 15.2 理想塑性模型 (15.36)这些物理关系对于塑性体或者是 对于物理关系是非线性的弹性体 在主动变形时都是适用的。15.3 Drucker 公设应力应变曲线形式OOO(a)(b)(c)图 15.3 应力应变曲线形式应力增加应变减 少,不可能现象15.3 Drucker 公设公设
7、的叙述：考虑某应力循环，开始应力0ij在加载面内，然后达到ij ，刚好在加载面上 ，再继续在加载面上加载到ij+ dij ，在这一阶段，将产生塑性应变d pij 。 最后将应力又卸回到0ij 。若在整个应力循环过程中，附加应力ij- dij所做的塑性功不小于零，则这种材料就是稳定的。图 15.4 应力循环路径(15.37)应力循环过程中外载所做的功 ：15.3 Drucker 公设(15.38)判断材料稳定性的条件:O图 15.5 一维的应力循环因弹性应变在应力循环中可逆(15.39)(15.40)对于稳定材料 阴影面积一定 不会小于零15.3 Drucker 公设两个矢量的夹角是锐角 。O图
8、 15.6(15.39)(15.41)(15.43)加载面外凸才有可能。(15.42)15.3 Drucker 公设塑性应变增量各分量之间的 比例可由ij在加载面上的 位置决定，与dij无关。n图 15.7(15.44)(15.42)(15.45)只有当应力增量指向加载面 的外部时才能产生塑性变形 。加载准则15.4 加载和卸载准则(15.46)理想塑性材料的加载和卸载加载面和屈服面一样加卸载准则的数学形式 :弹性状态加载卸载15.4 加载和卸载准则(15.47)理想塑性材料的加载和卸载在应力空间中的形式:加载卸载加载图 15.8卸载由于屈服面不能扩大 ，d不能指向屈服面外15.4 加载和卸载
9、准则(15.48)理想塑性材料的加载和卸载光滑面交界处的加卸载准则:加载卸载加载卸载加载图 15.9(15.49)加载卸载总之，应力增量保持在屈 服面上就称为加载；返到 屈服面以内时就称为卸载 。15.4 加载和卸载准则强化材料的加卸载准则 ： 不同点：加载面允许向外扩张(15.50)加载卸载中性变载：相当于应力点沿加 载面切向变化，加载面并未扩 大的情形。卸载加载n中性变载加载曲面图 15.10中性变载(15.51)加载卸载中性变载数学表达15.5 理想塑性材料的增量关系(15.52)进入塑性状态的应变增量表达式流动法则应力应变增量关系 与屈服条件相联系(15.44)15.5 理想塑性材料的
10、增量关系(15.53)一、与Mises屈服条件相关连的流动法则(15.54)加上弹性应变增量Prandtl-Reuss关系(15.55)Levy-Mises关系略去弹性应变15.5 理想塑性材料的增量关系一、与Mises屈服条件相关连的流动法则(15.56)(15.57)变换15.5 理想塑性材料的增量关系一、与Mises屈服条件相关连的流动法则(15.58)O321图 15.1115.5 理想塑性材料的增量关系二、与Tresca屈服条件相关连的流动法则(15.59)主应力空间的屈服面当应力点处在f1=0面上时:(15.60)当应力点处在f2=0面上时:(15.61)15.5 理想塑性材料的增
11、量关系二、与Tresca屈服条件相关连的流动法则当应力点处在f1=0及 f2=0交点上时:(15.62)f1 =0f2 =0n1n2f1 =0f2 =0图 15.12(a)(b)15.6 强化材料的增量关系假设:(15.63)强化模量(15.64)Mises等向强化模型依赖于加载面的变化规律(15.65)(15.66)(15.67)15.6 强化材料的增量关系(15.67)(15.68)(15.69)自乘自乘15.6 强化材料的增量关系(15.70)(15.71)可由简单拉伸的曲线来确定线性强化时:(15.72)15.7 简单加载定律一、简单加载如果应力的加载路径已知,可以通过对增量应 力应变
12、的积分,得到应力和应变的全量关系(15.73)O321图 15.13 简单加 载主方向不变由(15.63)确 定与理想塑性的Prandtl-Reuss 关系形式一样15.7 简单加载定律一、简单加载(15.74)应力按比例增加:令:(15.75)15.7 简单加载定律一、简单加载应用:(15.76)(15.77)单一曲线假定 :15.7 简单加载定律一、简单加载全量关系表达式:(15.78)(15.79)或者 :15.7 简单加载定律二、简单加载定理依留辛条件:1、小变形 ；2、=1/2 ； 3、外载按比例单调增长；如有位移边界条件 ，只能是零位移边界条件；4、材料的 曲线具有 形式。基本的必要条件
