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1、环境质量评价与系统 分析安徽工业大学建工学院 二四年六月八日2.数学模型概述n2.1 数学模型的定义和分类n2.2 数学模型的建立n2.2.1 建立数学模型的过程n2.2.2 对模型的基本要求n2.2.3 数学模型的验证和误差分析n2.3 Excel 在建立数学模型的应用n2.3.1 污水处理的线性回归分析n2.3.2 结构分析和曲线拟合n2.3.3 用Excel进行参数估计2.1 数学模型的定义和分类定义:如果一个事物 M 与另一个事物 S 之间，满 足两个条件：nM 中包含有一些元素(分量)，每个元素(分量)分 别对应和代表 S 中的一个元素(分量)；nM 中的上述分量之间应存在一定的关系
2、，这种 个关系可以用于与 S 的分量间关系进行类比。 n我们则将事物 M 称为事物 S 的模型。满足上述 模型条件的具体数学表达式和算法叫做数学模 型。模型的形式模型抽象模型具体模型数学模型:方程式,函数,逻辑式 图象模型:流程图,方向图,框图 ； 计算机程序:计算程序,模拟程 序 相似模型:(实物放大缩小)建筑模型，风洞实验模型模拟模型:电模拟模型讨 论 题用建立数学模型的方法讨论，用一盆水清洗 衣服和将该盆水分成两个半盆水来洗衣服 ，哪个效果好。定义：nM 中包含有一些元素(分量)， 每个元素(分量)分别对应和代 表 S 中的一个元素(分量)；nM 中的上述分量之间应存在 一定的关系，这种
3、个关系可 以用于与 S 的分量间关系进 行类比。设，一盆水水量 L， 衣服中污染物质量M ，余水量L1 ，残余物 比较；物理简化法； 数学简化法。2.2 数学模型的建立n2.2.1 建立数学模型的过程n2.2.2 对模型的基本要求n2.2.3 数学模型的验证和误差分析建立数学模型的步骤观测数 据组模型结 构选择模型 应用观测数据组参数 估计检验与验 证图2-2模型的结构选择n(1)白箱模型n根据对系统的结构和性质的了解,以客观事物变化遵循的物 理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模 型。这种建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性 。n(2)灰箱模型n即半机理模型。在建立环境数学
4、模型的过程中,几乎每个模 型都包含一个或多个待定参数,这些待定参数一般无法由过 程机理来确定。通常要借助于观测数据或实验结果。n(3)黑箱模型n即输入-输出模型。需要大量的输入,输出数据以获得经验模 型。它们可在日常例行观察中积累,也可由专门实验获得。 根据对系统输入输出数据的观测,在数理统计基础上建立起 经验模型的方法又叫归纳法。经验模型不具有唯一性。2.3 Excel 在建立数学模型的 应用n2.3.1 污水处理的线性回归分析n2.3.2 结构分析和曲线拟合n2.3.3 用Excel进行参数估计污水处理的线性回归分析n例2-2 某污水处理厂提供的3、4月份的日常监测台 帐如表2-4所示，试
5、根据3月份的数据建立其出水 COD对应入水COD的线性回归模型，然后用 4月 份的数据进行验证。 表2-5 出水COD对应入水COD回归统计结 果Multiple R0.630237 Intercept43.25682X Variable 10.136996 标准误差26.22009 观测值24结构分析和曲线拟合 n例2-3 十二胺降解实验数据如表2-7所示，使用Excel 工作 表进行曲线拟合。n n表2-7 十二胺降解实验数据n解： 在趋势线命令中分别选择模型结构形式为线性和指数 模型，拟合结果如图2-8所示。指数模型又分别指定和不指 定是否必须通过初始浓度2.3 mg/L。注意在图2-7
6、中有个选 项页，如果需要在图中显示出模型的表达式、R2 ，或者 需要限制趋势线必须通过初始浓度标记的函数点，均在选 项页进行操作。 2.3.3 用Excel进行参数估计n用Copy计算式结合多元线性回归进行复 杂模型参数估值n n例2-4 根据对某一种反应的分析，获得灰箱模型为：n试根据表2-8所示的一组实验观测值，进行灰箱模型的参数 估值，并讨论其是否可信。n解：首先建立Excel的工作表，输入已知的实验数据，在新 的两列中分别通过输入计算式和用 Copy 命令求得对应的 x10.5 和 ln(x2)，该反应测定的原始实验数据和两列中间计 算结果均列入 表2-8。 用最优化方法进行复杂模型的
7、参数估 值 n使用 Excel电子表格，对于因变量 y 相应于自 变量 X（可以是包含多个元素的向量）的试验 或观测数据，由经验给定参数的初值开始， 计算计算值与观测值之间的误差，用最优化 方法进行参数估值，使该参数取值条件下误 差的平方和最小。n 例2-5 已知河流平均流速为4.0kmh，饱和溶 解氧(DO)为lO.OmgL，河流起点的BOD(L0) 浓度为20mgL，沿程的溶解氧n()的测定数据如下：第二章 数学模型概述 学习难点的阐述通过例题例2-2学习，进一步阐述该学习难点，用具体计算和图形展示n误差的取值、累积频率曲线；n认识中值误差(累积频率为50)的概念和采用来 作为衡量模型精确
8、度的度量。n掌握数学建模方法。误差的累积频率误差 mg/L第二章 数学模型概述n学习要点为：n(1) 满足模型条件的数学表达式和算法叫做数学模型，它具 有高度的抽象性和经济性。环境系统工程中的数学模型是 应用数学语言和方法来描述环境污染过程中的物理、化学 、生物化学、生物生态以及社会等方面的内在规律和相互 关系的数学方程。n(2) 数学模型的建立过程包括：数据的搜集和初步分析、模 型的结构选择、估计模型的参数以及模型的检验和修正等 。n(3) Microsoft Excel 提供了一组数据分析工具，要使用分析 工具库进行数学模型的验证和误差分析，必须对所提供的 分析函数定义和在统计、误差分析中的作用有相应的了解 。n(4) 练习掌握用Excel解决环境问题的线性回归分析、曲线拟 合及参数估计等数学建模问题。难点重点
