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1、多 媒 体 辅 助 教 学 课 件 江油中学 唐秋明制作 公式小结目的例题天马行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：175569632等差数列与等比数列基本公式 等差数列 an-an-1=d(常数) an=a1+(n-1)d a,A,b等差,则A= 等比数列 an/an-1=q(常数) an=a1qn-1 a,G,b等比,则G2=ab Sn=na1 (q=1)Sn=天马行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：175569632等差数列an,bn的性质: m+n=k+l,则am+an=ak+al; nk等差,则等差; kan+b等差; k1a
2、n+k2bn等差; a1+a2+.+an,an+1+an+2+.+a2n,a2n+1+a2n+2+ +a3n,等差. an等差Sn=cn2+bn (c0) .等比数列an,bn的性质: m+n=k+l (m,n,k,lN),则aman=akal; nk等差,则 kan等比; k1ank2bn等比; a1+a2+.+an,an+1+an+2+.+a2n,a2n+1+ a2n+2+a3n,等比.公比qn; an等比Sn=c(qn-1) (c0) an等比且an0,则lgan等差;等比;例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成 等差数列,和是12,求此四个数.解法1:如图:a1,a2
3、,a3,a4等比 (a2)2=a1a3等差2a3=a2+a4已知: a1+a2+a3=19已知: a2+ a3+ a4 =12a1+a2+a3=19 (a2)2=a1a3 a2+ a3+ a4 =12 2a3=a2+a4a1=9 a2=6 a3=4 a4 =2a1=25 a2=-10 a3=4 a4 =18或例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成 等差数列,和是12,求此四个数.如图:a1,a2,a3,a4解法2:a-d,a,a+d等差等比a1, a-d,a已知和为12 =a-d+a+a+d=12已知三数和为19=或四数为: 9,6,4,2或 25,-10,4,18.19为了
4、便于解方程，应该充分分析条件的 特征,尽量减少未知数的个数, 用最少的未知 数表达出数列的有关项的数量关系，促使复 杂的问题转化为较简单的问题，获得最佳的 解决方法。归 纳练习1练习11. 已知等比数列an中,an0, 且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5= ( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D) 202.数列an是等差数列,且S10=100, S100=10,则S110= ( ) (A)90 (B)-90 (C)110 (D)-110 3.ABC的三内角成等差数列,三边成等比 数列,则三内角的公差为 ( ) (A)0 (B)150 (C) 300 (D) 450AD
5、A1. 已知等比数列an中,an0, 且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=a2a4=(a3)2 a4a6=(a5)2原式=(a3+a5)2=25= a3+a5=5(an0)提示:2.数列an是等差数列,且S10=100, S100=10,则S110= ( ) (A)90 (B)-90 (C)110 (D)-110S10,S20-S10,S30-S20,S110-S100成等差数列,公差100d.解: (S20-S10)-S10=100d)S110-S100=S10+(11-1)100d=100+100(-11/5)=-120S110=-120+S100=-110=10d=-1
6、1/5S110-S100=S10+(11-1)100d3.ABC的三内角成等差数列,三边成等比 数列,则三内角的公差为( )解: A+B+C=18002B=A+C,b2=ac B=600, A+C=1200由正弦定理得:(sin600)2=sinAsinC故 A=B=C, 公差 d=0.例2:已知数列an为等差数列,公差d0,an的 部分项组成下列数列: 恰好为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求 k1+k2+.+kn即得出新数列的公比:q=3再由可解出kn,进而求出根据数列an是等差数列,通项可写作: an=a1+(n-1)d,可表示出:a1,a5=a1+4d,a17=a1+16
7、d, 再根据a1,a5,a17成等比数列,又可得:(a5)2=a1a17, 于是可解出d=(1/2)a1.将解出的d代入a1,a5,a17,分析:例2:已知数列an为等差数列,公差 d0,an的部分项组成下列数列: 恰好为等比数列,其中k10,k2=5,k3=17,求 k1+k2+.+kn解:an为等比数列,设其首项为a1,则an=a1+(n-1)d故(a1+4d)2=a1(a1+16d)(a1)2 +8a1d+16d2=(a1)2 +16a1d例2:已知数列an为等差数列,公差d0,an的 部分项组成下列数列: 恰好为等比数列,其中k10,k2=5,k3=17,求 k1+k2+.+kn故又q
8、=3,d=(1/2)a1归 纳1.本题是一个综合型的等差、等比 数列问题，在解题过程中，分清那 一步是用等差数列条件，那一步是 用等比数列条件是正确解题的前提 。 2。仔细观察，找到两个数列序号 间的联系，是使问题得解的关键。练习2练习21.如果a,b,c成等差数列,而 a.c.b三数成 等比数列,则a:b:c=_2.若数列1,2cos,22cos2,23cos3,前 100项之和为0,则的值为 _ 1:1:1或4:1:(-2)2k(2/3)(kZ)1.如果a,b,c成等差数列,而 a.c.b三数成等比 数列,则a:b:c=_a,b,c等差2b= a+c b= (a+c)/2 a.c.b等比c
9、2=ab代 入,得:c2=a(a+c)/2解得: a=c或 a= -2c1:1:1或4:1:(-2)解:2.若数列1,2cos,22cos2,23cos3,前100 项之和为0,则的值为 _解: 经观察知,该数列是等比数列, 首项为1,公比为2cos, 它的前100项和:Cos= - 1/2=2k(2/3),kZ.例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p, 使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立. (1)求p (2)证明an成等差数列分析:本题已知Sn,需求p及an,所以必 须根据公式 求出 a1,an.因为条件中有a1a2,又可推测知: 本题需同时求a1,a2,才可利用a1a2排除增根
10、. 故第一问的解答从计算a 1,a2开始:例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p, 使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立. (1)求p (2)证明an成等差数列（1）令n=1，s1=pa1， 因为S1=a1，故a1=pa1，a1=0或p=1 若p=1，则由n=2时，S2=2a2，即a2+a2=2a2所以a1=a2，这与a1a2矛盾故p1所以a1=0，则由n=2，得a2=2pa2因为a10，a20，p=1/2解:例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p, 使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立. (1)求p (2)证明an成等差数列(2)根据已求得的p=1/2Sn=(1/2)na
11、n,由等差数列定义,满足an-an-1=d(常数) 的数列是等差数列 所以第一步求通项,第二步“作差”.证明: n2时,an=Sn-Sn-1=(1/2)nan-(1/2)(n-1)an-1解得: (2-n)an=(1-n)an-1例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p, 使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立. (1)求p (2)证明an成等差数列由(1)可得a1=0a2-a1=a2练习3练习31. 数列 则 是该数列 的第_项. 2.数列an对任意自然数n都满 足 且a3=2,a7=4,则 a15=_1116教学目的1。系统掌握等差、等比数列定义与性 质，灵活应用等差、等比数列的定义
12、 与性质。 2。通过对问题的讨论，提高分析解决 问题的能力。小 结对等差等比综合问题 1。要正确分清题目究竟是等差还 是等比，不能混淆。 2。掌握设元的技巧； 3。要掌握分析数列问题的基本思 想方法：抓两头，凑中间。习题分析:6.三数成等比数列,若将第三数减去 32,则成等差数列,若再将等差数列 的第二个数减去4,又成等比数列,原 来三个是:_.习题分析:7.数列an各项均为正数,前n项和为 An,数列bn的前n项和为Bn,且满足 Bn=-n(n-1),bn=log2an,求An.习题分析:8.已知等差数列an的首项a1=1,前n项和为 145,求a2+a4+a8+习题分析:9.设Sn是等差数列an的前n项和,已 知(1/3)S3与(1/4)S4的等比中项为 (1/5)S5,而(1/3)S3与(1/4)S5的等差中 项为1,求等差数列an的通项.
