《江苏省南师大附校2010高三数学一轮复习教学案：第1课时变化率与导数、导数的计算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省南师大附校2010高三数学一轮复习教学案：第1课时变化率与导数、导数的计算（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、南京师范大学附属实验学校 2010 届高三一轮复习 理科数学教学案 导数 导数及其应用【本章知识结构】导数导数的概念导数的求法和、差、积、商、复合函数的导数导数的应用函数的单调性函数的极值函数的最值第第 1 课时课时 变化率与导数的概念、导数的计算变化率与导数的概念、导数的计算 【复习目标】 1了解导数的定义、掌握函数在某一点处导数的几何意义图象在该点处的切线的斜率；2掌握幂函数、多项式函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式及两 个函数的和、差、积、商的导数运算法则及简单复合函数的求导公式，并会运用它们进 行求导运算； 【重点难点】 导数的定义，求导公式理解导数的物理、几何意义
2、，求函数在某点处切线的斜率和 物体运动到某点处的瞬时速度. 【高考要求】B 级 【基础过关】 1 1导数的概念：函数 y)(xf的导数)(xf ，就是当 x0 时，函数的增量 y 与自变量的增量 x的比xy 的 ，即)(xf 2 2导函数：函数 y)(xf在区间(a, b)内 的导数都存在，就说)(xf在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(xf的 ，记作)(xf 或xy，函数)(xf的导函数)(xf 在0xx 时的函数值 ，就是)(xf在0x处的导数.3 3导数的几何意义：设函数 y)(xf在点0x处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y
3、xM处的 .4 4求导数的方法 (1) 八个基本求导公式)(C ； )(nx ；(nQ) )(sinx ， )(cosx 南京师范大学附属实验学校 2010 届高三一轮复习 理科数学教学案 导数 )(xe ， )(xa )(lnx ， )(logxa (2) 导数的四则运算)(vu )(xCf )(uv ，)(vu )0( v(3) 复合函数的导数 设)(xu在点 x 处可导，)(ufy 在点)(xu处可导，则复合函数)(xf在点 x 处可导， 且)(xf ，即xuxuyy.【典型例题】例例 1 1求函数 y=12x在 x0到 x0+x 之间的平均变化率.解解 y= 11)(11)(11)(
4、202020202020 xxxxxxxxx. 11)(2, 11)()(220200 202020 xxxxx xyxxxxxx变式训练变式训练 1.1. 求 y=x在 x=x0处的导数.例例 2.2. 求下列各函数的导数：（1）;sin 25xxxxy （2）);3)(2)(1(xxxy（3）;4cos212sin2xxy （4）. 1111xxy 解解 (1),sinsin 23232521xxxx xxxxyy.cossin2323)sin()()(23225 2323 xxxxxxxxxx（2）方法一方法一 y=（x2+3x+2） （x+3）=x3+6x2+11x+6，y=3x2+1
5、2x+11.方法二方法二 y=)3)(2)(1()3()2)(1(xxxxxx=)2)(1()2(（1（xxxx（x+3）+（x+1） （x+2）=（x+2+x+1） （x+3）+（x+1） （x+2）=（2x+3） （x+3）+（x+1） （x+2）=3x2+12x+11.（3）y=,sin21 2cos2sinxxx .cos21)(sin21sin21xxxy 南京师范大学附属实验学校 2010 届高三一轮复习 理科数学教学案 导数 （4）xxxxxxxy 12)1)(1 (111111，. )1 (2)1 ()1 (2 12 22xxx xy 变式训练变式训练 2 2：求 y=tanx
6、 的导数.解解 y. cos1cossincoscos)(cossincos)(sin cossin 22222xxxxxxxxx xx 例例 3.3. 已知曲线 y=.34 313x（1）求曲线在 x=2 处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解解 （1）y=x2,在点 P（2，4）处的切线的斜率 k= y|x=2=4. 曲线在点 P（2，4）处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. （2）设曲线 y=34 313x与过点 P（2，4）的切线相切于点 34 31,300xxA，则切线的斜率 k= y| 0xx=20x. 切线方程为),(34 31 0203
7、0xxxxy 即.34 323020xxxy 点 P（2，4）在切线上，4=,34 3223020xx即, 044, 0432020302030xxxxx, 0) 1)(1(4) 1(00020xxxx(x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. 变式训练变式训练 3 3：若直线 y=kx 与曲线 y=x3-3x2+2x 相切，则 k= .答案答案 2 或41例例 4.4. 设函数bxaxxf1)( (a,bZ Z)，曲线)(xfy 在点)2(, 2(f处的切线方程为 y=3.（1）求)(xf的解析式； （2）证明
8、：曲线)(xfy 上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值， 并求出此定值.（1）解解 2)(1)(bxaxf，于是 , 0 )2(1, 32122baba 解得 , 1, 1 ba或 .38,49ba因为 a,bZ Z，故.11)(xxxf南京师范大学附属实验学校 2010 届高三一轮复习 理科数学教学案 导数 （2）证明证明 在曲线上任取一点 11,000xxx由200) 1(11)(xxf知，过此点的切线方程为)() 1(11110200020xxxxxxy 令 x=1，得1100 xxy，切线与直线 x=1 1 交点为 11, 100 xx令 y=x，得12
9、0 xy，切线与直线 y=x 的交点为) 12 , 12(00xx直线 x=1 1 与直线 y=x 的交点为(1,1)从而所围三角形的面积为22212 21112111 210 00 00xxxxx所以，所围三角形的面积为定值 2. 变式训练变式训练 4 4：偶函数 f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e 的图象过点 P（0，1） ，且在 x=1 处的切线方 程为 y=x-2，求 y=f（x）的解析式. 解解 f（x）的图象过点 P（0，1） ，e=1. 又f（x）为偶函数，f（-x）=f（x）. 故 ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e. b=0，d=0.
10、f（x）=ax4+cx2+1. 函数 f（x）在 x=1 处的切线方程为 y=x-2，可得切点为（1，-1）.a+c+1=-1. ) 1 ( f=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，4a+2c=1. 由得 a=25，c=29. 函数 y=f（x）的解析式为. 129 25)(24xxxf 【小结归纳】1理解平均变化率的实际意义和数学意义。 2要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导. 3搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础. 【课后练习】 1. 函数 yax21 的图象与直线 yx 相切，则 a 2在曲线 y=x2+1 的图象上取一点(1,2)及邻近一
11、点(1+x,2+y)，则为 xy 3一质点的运动方程为 s=53t2，则在一段时间1,1+t内相应的平均速度为 4若曲线的一条切线 与直线垂直，则 的方程为 4yxl480xyl5.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x0 时,0.( ) ( )( )( )fx g xf x g x且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)0 的解集是（ ）A(3,0)(3,+) B(3,0)(0, 3)C(, 3)(3,+) D(, 3)(0, 3)南京师范大学附属实验学校 2010 届高三一轮复习 理科数学教学案 导数 6函数，已知在时取得极值，则= 93)(23xaxxxf
12、)(xf3xa7在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数xxy834有 个。8函数 yax21 的图象与直线 yx 相切，则 a 9曲线 yx3在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x2 所围成的三角形的面积为 _。10曲线在点（1,3）处的切线方程是 31yxx11曲线在点（1，1）处的切线方程为 32yxx12设函数( )(1)(),(1)f xx xxaa（1）求导数; 并证明有两个不同的极值点; /( )fx( )f x12,x x（2）若不等式成立，求的取值范围.12()()0f xf xa解：（1）.)1 (23)(2axaxxf0)(,; 0)(,; 0)(,:)()(3)(, 04) 1(4. 0)1 (230)(221121212122xfxxxfxxxxfxxxfxxxxxfxxxxaaaaxaxxf时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令因此是极大值点，是极小值点.1x2x（II）因故得不等式, 0)()(21xfxf. 0)(2)(1 (3)(. 0)()(1 (21212 21212 2121212 22 13 23 1 xxaxxxxaxxxxxxxxaxxaxx即又由（I）知 .3),1 (322121axxaxx代入前面
