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1、运筹学教程13.5层次分析法 层次分析法（Analytical Hierarchy Process ,简称AHP)是美国匹兹堡大学教授A.L.Saaty于20世纪70年代提出的一种系统分析方法。由于研究工作的需要，Saaty教授开发了一种综合定性与定量分析，模拟人的决策思维过程，以解决多因素复杂系统，特别是难以定量描述的社会系统的分析方法。1977年举行的第一届国际数学建模会议上，Saaty教授发表了无结构决策问题的建模层次分析法。从此，AHP开始引起了人们的注意，并陆续应用。1980年，Saaty 教授出版了有关AHP的论著。近年来，世界上有许多著名学者在AHP的理论研究和实际应用上作了大量
2、的工作。运筹学教程1982年11月，我国召开的能源、资源、环境学术会议上，美国Moorhead大学能源研究所所长Nezhed教授首次向我国学者介绍了AHP方法。其后，天津大学许树柏等发表了我国第一篇介绍AHP的论文。随后，AHP的理论研究和实际应用在我国迅速开展。1988年9月，在天津召开了国际AHP学术讨论会，Saaty教授等国外学者和国内许多学者一起讨论了AHP的理论和应用问题。目前，AHP应用在能源政策分析、产业结构研究、科技成果评价、发展战略规划、人才考核评价、以及发展目标分析的许多都取得了令人满意的成果。运筹学教程 AHP是一种将定性分析与定量分析相结合的系统分析方法。在进行系统分析
3、时，经常会碰到这样的一类问题：有些问题难以甚至根本不可能建立数学模型进行定量分析；也可能由于时间紧，对有些问题还来不及进行过细的定量分析，只需作出初步的选择和大致的判定就行了。例如选择一个新厂的厂址，购买一台重要的设备，确定到哪里去旅游等等。这时，我们若应用AHP进行分析，就可以简便而且地解决问题。AHP是分析多目标、多准则的复杂大系统的有力工具。它具有思路清晰、方法简单、适用面广、系统性强等特点，便于普及推广，可成为人们工作中思考问题、解决问题的运筹学教程 一种方法。将AHP引入决策，是决策科学化的一大进步。它最适宜于解决难以完全用定量方法进行分析的决策问题。因此，它是复杂的社会经济系统实现
4、科学决策的有力工具。一.AHP的基本原理为了说明AHP的基本原理，首先让我们分析下面的简单事实。假定我们已知n个西瓜的总重量为1，每个西瓜的重量为问每个西瓜相对于其他西瓜的相对重量是多重？可通过两两比较（相除），得到比较矩阵（以后称之为判断矩阵）：运筹学教程显然矩阵A满足（1）称满足（1）式的矩阵为互反矩阵。且满足（2）运筹学教程即n是A的一个特征根，是A的对应与特征根n的一个特征向量。设有运筹学教程现在提出相反的问题：如果事先不知道每个西瓜的重量，也没有衡器去称量，如何判定每个西瓜的相对重量呢？即如何判定那个最重，那个次之，哪个最轻呢？我们可以通过两两比较的方法，得出判断矩阵A,然后求出A的
5、最大特征值 ，进而通过求出A的特征向量运筹学教程然后通过将 规范化：则 即为n个西瓜的相对重量。运筹学教程使用AHP，判断矩阵的一致性是十分重要的。所谓判断矩阵的一致性，即判断矩阵是否满足如下关系：若上式完全成立时，称判断矩阵具有完全一致性。可以证明，n阶完全一致性矩阵具有以下的性质：1。A的秩为1，A的唯一非零特征根为n。2。A的任一列（行）向量都是对应于特征根n的特征向量。证明：设运筹学教程是n阶完全一致性矩阵，则运筹学教程注意到：有运筹学教程运筹学教程所以运筹学教程在一般情况下，可以证明判断矩阵的最大特征值为单根，且当判断矩阵具有满意的一致性时， 稍大于矩阵阶数 ，其余特征根接近于零。这
6、时AHP得出的结论才基本合理。但由于客观事物的复杂性和人们认识上的多样性，要求所有的判断都有完全的一致性是不可能的，但我们要求一定程度上的判断一致，因此对构造的判断矩阵需要进行一致性检验。运筹学教程二。AHP的步骤用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤： 建立层次结构模型； 构造判断矩阵； 层次单排序； 层次总排序； 一致性检验。其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。运筹学教程 建立层次结构模型人们在日常生活中经常会碰到许多决策问题：买一件衬衫，你要在棉的、丝的、涤纶的、及花边的、白的、方格的、之中作出抉择；请朋友吃饭，要筹划是办家宴还是去饭店，是吃中餐还是西餐或自助餐；假期旅游，失去风光
7、绮丽的杭州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林。如果你以为这些日常生活小事不必作为决策问题认真对待的话，那么，当你面临报考学校、选择专业，或者抉择工作岗位的时候，就要慎重考虑、反复考虑，尽可能地做出满意的抉择了。运筹学教程从事各种职业的人也经常面临决策：一个厂长要决定购买哪种设备，上马什么产品；科技人员要选择研究课题；医生要为疑难病例选择治疗方案；经理要从若干应试者中选择秘书；各地区、各部门的官员要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上类似。不妨用前面提到过的假期旅游为例，假如有 、 、 三个旅游胜地供你选
8、择，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较哪三个候选地点。首先，你会确定这些准则在你心目中各占多大比重，如运筹学教程 果你经济宽绰、醉心旅游，自然特别看重景色，而平素简朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年则会对居住、饮食等条件给予较大关注。其次，你会就每一准则将三个地点进行对比，譬如 景色最好， 次之； 费用最低， 次之； 居住条件较好等。最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在 ， ， 中确定哪个作为最佳地点。上面的思维过程可以加工整理成以下几个步骤：1将决策问题分解为3个层次，最上层为目标层，即选择旅游地，最下层为方案层，有 ， ， 3个供你选择地点，中间
9、层为准则层，有景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，各层间的联系用相连的直线表示。见下图运筹学教程目标层选择旅游地景色费用居住饮食旅途准则层 方案层 图5.1 选择旅游地的层次结构 运筹学教程 构造判断矩阵 通过相互比较确定各准则对于目标的权重，即构造判断矩阵。设准则层5个准则 景色， 费用， 居住， 饮食旅途。相对于目标层：选择旅游地， 两两比较打分。相对重要程度定义解释 1 3 5 7 9 2，4，6，8同等重要 略微重要 相当重要 明显重要 绝对 重要 介于两重要程度之间目标i比j同样重要 目标i比j略微重要 目标i比j重要 目标i比j明显重要 目标i比j绝对 重要运筹学教程采用19的比
10、例表度的依据是：心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同属性上的差别的分辨能力在59，采用19的标度反映了大多数人的判断能力；大量的社会调查表明，19的比例标度早已被人们所熟悉和采用；科学考察和实践表明，19的比例标度已完全能区分引起人们感觉差别的事物的各种属性。运筹学教程选择旅游地景色费用居住饮食旅途运筹学教程相对于景色相对于费用相对于居住相对于饮食运筹学教程相对于旅途 层次单排序所谓层次单排序是指，对于上一层某因素而言，本层次各因素的重要性的排序。具体计算是：对于判断矩阵B，计算满足运筹学教程的特征根于特征向量，式中 为 的最大最大特征根， 为对应于 的正规化的特征向量， 的分量 即是相
11、应元素单排序的权值。自上而下，先求判断矩阵A的最大特征值于特征向量。运筹学教程例如：相对于景色经计算对应于 的正规化的特征向量为对应于 的正规化的特征向量为运筹学教程同理算出 的最大特征值分别为：所对应的特征向量分别为运筹学教程将5个特征向量按列依次排成一矩阵：为了检验矩阵的一致性，需要计算它的一致性指标CI，定义一般的，只要 就可认为判断矩阵具有满意的一致性。运筹学教程 层次总排序各个方案优先程度的排序向量为首选旅游地为 ，其次为 ，再者运筹学教程一般地，若层次结构由k个层次（目标层算第一层），则方案的优先程度的排序向量为运筹学教程二.层次分析法的计算方法层次分析法有两大问题：判断矩阵一致性
12、的调整；判断矩阵的最大特征根与特征向量的计算。对于，精确解应是线性代数中的计算方法。但从使用的角度看，一般采用近似方法计算。主要有三种计算方法。1.幂法幂法使我们有可能利用计算机的到任意精确解的最大特征根及其对应的特征向量。步骤为 任取与判断矩阵B同价的正规化的初始向量 ； 计算运筹学教程 令 计算 对于预先给定的精确度 ，当对所有i=1,2, n成立时，则 为所求特征向量。 可由下式求得式中：n为矩阵的阶数；为向量的第i个分量。运筹学教程2。和积法为简化计算，可采用近似方法和积法计算，它可以进实用计算器在保证足够精确度的条件下运用AHP。其具体计算步骤为： 将判断矩阵每一列正规化 将按行相加
13、运筹学教程 将 规范化得向量运筹学教程 计算判断矩阵最大特征根例 用和积法求下列的判断矩阵的最大特征值和相应的特征向量。运筹学教程列向量规一化按行求和规一化运筹学教程这个方法实际上是将A的列向量规一化后取平均值，作为A的特征向量。因为当A为一致阵时，它的每一列向量都是特征向量，所以当A的不一致性不严重时，取A的列向量（归一化后）平均值作为近似特征向量是合理的。运筹学教程3.方根法 将判断矩阵每一列正规化 将按行相乘 将 规范化运筹学教程得向量 计算判断矩阵最大特征根运筹学教程例9 某单位拟从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力和健康状况。下面用AHP
14、方法对3人综合评估、量化排序。建立层次结构模型运筹学教程目标层选一领导干部健康状况业务知识口才写作能力工作作风准则层 方案层 政策水平运筹学教程健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风A的最大特征值相应的特征向量为：运筹学教程假设3人关于6个标准的判断矩阵为：健康情况业务知识写作能力口才运筹学教程政策水平工作作风由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。特征值健康情况 业务知识 写作能力 口才 政策水平 工 作作风3.02 3.02 3.56 3.05 3.00 3.21各属性的最大特征值运筹学教程从而有运筹学教程即在3人中应选择A担任领导职务。
