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1、开始 学点一学点二学点三学点四学点五1.一般地,设函数f(x)的定义域为I:(1)如果对于定义域I内某个区间D上的两个自变量的值x1,x2, 当x1f(x2)单调返回 3.一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实 数M满足：（1）对于 ，都有f(x)M;存在 x0I,使得 .那么，称M为函数y=f(x)的最 大值，记为ymax=M.(2)对于任意的xI,都有f(x)M; ， 使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最小值，记 为ymin=M.4.函数的最大（小）值反映在图象上 ，是函数图象的纵坐标.任意的xI f(x0)=M最高（低）点存在x0I返回 学点一 判定函数的单调
2、性【分析】熟练掌握基本初等函数的图象和单调性，有利于更好地掌握 复杂的复合函数的单调性.【评析】判定函数的单调性，可以从图象上直观看出，也可以利用函数本 身的性质得出.下列函数中,在区间（0,+）上是增函数的是( )A.y=x2-2x+1 B.y=C.y D.y【解析】y=x2-2x+1在1,+)上递增,而在(0,1上递减;y= 在 (0,+)上是减函数；y = 在0,1上递增, 在1,2上递减.只有y= 在(-,-1)上递增,在(-1,+)上递 增,从而在(0,+)上递增.故应选C.C返回 下列函数，在区间(0,2)上是增函数的是（ ）A.y= B.y=2x-1C.y=1-2x D.y=(2
3、x-1)2B(y= 在(0,+)上是减函数，排除A；y=2x-1在R上是增函数，故在(0,2)上也是增函数；y=1-2x在(0,+)上是减函数，排除C;y=(2x-1)2在(0 , ), 上是减函数， 在( , 2 )上 是增函数.故应选B.)B返回 学点二 单调性的判定与证明【分析】用函数单调性定义证明.求证：函数f(x)=- -1在区间(-,0)上是单调增函数.【证明】对于区间(-,0)内的任意两个值x1,x2，且 x10,x1x20,因为f(x2)-f(x1)=(- -1)(- -1 )= - = ,所以f(x2)-f(x1)0，即f(x1)0, 0,(x2-x1)( + x2x1 +
4、) 0,即f(x1)f(x2).函数f(x)=-x3+1在(-,+)上是减函数.根据函数单调性的定义证明：函数f(x)=-x3+1在(-,+)上 是减函数.返回 学点三 利用图象求函数单调区间【分析】先将函数解析式化简，变为熟悉的基本函数.作出函数f(x)= 的图象，并指出函数f(x)的单调区间.由图象知函数的单调区间为(-,-3,-3,3,3,+).其中单调减区间为(-,-3,单调增区间为3,+),常函数区间为-3,3.图象如图所示.【解析】原函数可化为f(x)=|x-3|+|x+3|-2x,x-3,6,-33.返回 【评析】（1）利用函数图象确定函数的单调区间，具 体做法：先化简函数式，然
5、后再画出它的草图，最后 根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单 调区间.显然函数的增区间为 x2,x3,x4,x5,减 区间为x1,x2, x3,x4,x5,x6.（ 2）利用图象求函数单调区间是最基本、最直观的方 法，只要作出图象，求单调区间很容易，如y=f(x).图象 如下图所示：返回 求函数y=-x2+2|x|+3的单调区间.“脱去”绝对值符号，画出函数图象，如图所示，从图象 观察得出. 当x0时，y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4; 当x0,f(x2)-f(x1)=(- +ax2)-(- +ax1)=( - )+a(x2-x1)=(x1-x2)( +x1x2+ -a)0,
6、f(x)在(0,1)上是增函数,又x2-x10, +x1x2+ -a +x1x2+ ,又00时，要使f(x)在1,+)上是增函数，a01（ 3）当af(a-1)+2，求a的取值范围.【分析】从两点考虑：一是常数2与f(3)是什么关系？可由f(xy)=f(x)+f(y)找出；二是在不等式f(a)f(a-1)+2中怎样“脱”去“f”.【解析】f(xy)=f(x)+f(y)，且f(3)=1,f(9)=f(33)=f(3)+f(3)=2f(3)=2.又f(a)f(a-1)+2, f(a)f(a-1)+f(9),即f(a)f9(a-1),返回 【评析】（1）抽象函数不等式的一般解答方法是利 用单调性“脱
7、号”.（2）“脱号”时莫忘定义域对自变量的限制.由单调函数的概念得解得10,求 实数m的取值范围.由f(m)+f(2m-1)0得f(m)-f(2m-1),f(-x)=-f(x)，f(m)f(1-2m).由f(x)是(-2,2)上的减函数可得解得- x11，则f(x2)-f(x1)=(x2-x1)+ =(x2-x1)（1- ）.x2x11,x2-x10,x1x21, 0,f(x2)-f(x1)0,f(x)在区间1,+)上为增函数,f(x)在区间1,+)上的最小值为f(1)= .(2)在区间1,+)上,f(x)= 0恒成立 x2+2x+a0恒 成立. 设 y=x2+2x+a ,x1,+),则y=x
8、2+2x+a=(x+1)2+a-1递增. 当x=1时,ymin=3+a, 于是,当且仅当ymin=3+a0时,函数f(x)0恒成立,故a-3.返回 求函数f(x)=x2-2ax-1在区间0,2上的最值.由f(x)=(x-a)2-a2-1，因为x0,2,(1)当0a2时，f (x) min=f(a)= -a2-1.当0a1时，f (x) max=f(2)=22-4a-1=3-4a；当12时，f(x)min= f(2)=3-4a, f(x) max=f(0)= -1.返回 （1）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言，有的函 数在整个定义域内具有单调性，如一次函数y=2x+6等.有 的函数分别在定
9、义域内的某些区间上单调，但在整个定义 域上却不单调，如反比例函数y= 等，所以函数f(x)在给 定区间上的单调性，反映了函数f(x)在区间上函数值的变化 趋势，是函数的局部性质.（2）函数在某一点处的单调性无意义，书写函数的单调区 间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上若函数在 区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可 ；若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间. （3）函数定义中的x1,x2应深刻理解，一是任意性，即“任 意取x1,x2”,“任意”两个字绝不能丢掉，不能为某两个特 殊值；二是x1,x2有大小，通常规定x2-x10;三是同属于一个 单调区间.1.在函数单调性中应注意什么问题？返回 2.证明函数单调性的方法和步骤是什么？ 证明函数单调性只能用定义来证明，不能用复合函数单调性 证明. 证明函数单调性的步骤： 第一步：任意取值x1,x2(在某单调区间I上)，且x10时，函数y=1f(x)与y=f(x)的单调性相反.对于 f(x)0),xm,n的最值问题， 若当tm,n,x=t时，有最小值s，最大值是 f(m),f(n)中较大者；若t m,n，则f(m),f(n)中较 小者是最小值，较大者是最大值.当a0时，仿此讨论 .返回
