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1、 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九节一、二、第十二章 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY一、 为实数 ,设特解为其中 为待定多项式 , 代
2、入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取从而得到特解形式为为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式为小结 对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例1.的一个特解. 解
3、: 本题而特征方程为不是特征方程的根 .设所求特解为代入方程 :比较系数, 得于是所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例2. 的通解. 解: 本题特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数, 得因此特解为代入方程得所求通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例3. 求解定解问题解: 本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得机动 目录 上页 下页 返回 结束
4、 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY于是所求解为解得机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY二、第二步 求出如下两个方程的特解分析思路:第一步 将 f (x) 转化为第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步 分析原方程特解的特点机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY第一步利用欧拉公式将 f (x) 变形机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERS
5、ITY第二步 求如下两方程的特解 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故等式两边取共轭 :为方程 的特解 .设则 有 特解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :原方程均为 m 次多项式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY第四步 分析因均为 m 次实多项式 .本质上为实函数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYA
6、NGZHOU UNIVERSITY小 结:对非齐次方程则可设特解 :其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例4. 的一个特解 . 解: 本题 特征方程 故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数 , 得于是求得一个特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例5. 的通解. 解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数, 得因此特解为代入方程:所求通解
7、为为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例6.解: (1) 特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2) 特征方程有根利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例7.求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p k 时, 齐次通解: 非齐次特解形式:因此原方程之解为第七节例1 (P294)中若设物体只受弹性恢复
8、力 f和铅直干扰力代入可得: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,自由振动强迫振动 当 p = k 时, 非齐次特解形式:代入可得: 方程的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅这时产生共振现象 .可无限增大,若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ;p = k .自由振动强迫振动对机械来说, 共振可能
9、引起破坏作用, 如桥梁被破坏,电机机座被破坏等, 但对电磁振荡来说, 共振可能起有利作用, 如收音机的调频放大即是利用共振原理. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY内容小结 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根, 则设特解为为特征方程的 k (0, 1 )重根, 则设特解为3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY思考与练习时可设特解为 时可设特解为 提示:1 . (填空) 设机动 目录 上页 下页 返
10、回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY2. 求微分方程的通解 (其中为实数 ) . 解: 特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY3. 已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解 .解: 将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY作业P317 1 (1) , (5) , (6) , (10) ;2 (2) , (4) ;3 ; 6习题课2 目录 上页 下页 返回 结束
