《高阶和线性微分方程及其微分方程的应用(13 题)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高阶和线性微分方程及其微分方程的应用(13 题)（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲 高阶和线性微分方程及其微分方程的应用方法: 1可降阶的二阶方程(1) 不显含因变量的二阶方程:令 , 则 , 代入方程得 (2) 不显含自变量的二阶方程 :方法: 令 , 则 , 代入方程得 例1 求解解 不显含因变量 y 的方程令 , 则 , 代入方程得 (齐次型方程)令 , 则 , 代入方程得 通解由 由 所以例2求解解 不显含自变量 x 的方程令 , 则 , 代入方程得 由 p = 0 不是问题的解积分得由 令 所以特解:2二阶线性微分方程例3 (练习二/七)求 的通解 解 特征方程: 特征根:齐次方程的通解:设非齐次方程的解为:代入方程确定非齐次方程的特解:所以方程的通解:例4
2、 (练习二/一(3)/(4)写出方程的特解形式解特征方程: 特征根:又对于方程:特解形式:对于方程:特解形式:所以原方程的特解形式例5 (练习二/一(1)/(4) 求 的通解 解特征方程:特征根:通解:例6 (练习二/八) 求出以为特解的最低阶的常系数线性齐次方程解是特解 1= 1 是所求微分方程的特征方程的二重根 是特解是所求微分方程的特征方程的根 所求方程的特征方程:所求微分方程:例7 求出方程 在 , 上满足的特解解微分方程可分解为 (1)(2)方程 (1) 的通解:方程 (2) 的通解:即由于 y(x) 在 x = 0 处有二阶导数故由由原方程在 , 上的通解:由初始条件 , 得所以特
3、解:例8 利用代换 将方程化简 , 并求出原方程的通解解代入方程得解得原方程的通解:例9 (练习二/十二) 求微分方程 通解解代入方程得解得方程的通解3微分方程的应用例10 设可导函数 f (x) 对任意 x , y 恒有且 求 f (x)解令 得 f (x) 满足:解得例11 (练习三/三) 已知函数 y = f (x) 的图形是经过P(0 , 1) 和 Q(1 , 0) 两点的一段向上凸的曲线弧 ,M(x , y) 为该曲线上任一点 , 弧 与弦 之间的面积为 , 求 f (x)解设曲线的方程为 y = f(x) , 由条件知两边求导有即方程的通解:由 y(1) = 0 得 c = 11所
4、以所求曲方程为例12 汽艇以 12 km/h 的速度在静水中行驶 , 现突然关闭发动机 , 让它在水中作直线滑行 , 若已知经过20 秒后 , 速度降为 6 km/h , 而水对汽艇的阻力与汽艇的速度成正比 , 求(1) 关闭发动机 40 秒后 , 汽艇的速度(2) 关闭发动机后 , 汽艇在 1 分钟内滑行了多远 ? 它最多能滑行多远 ?解 (1) 设时刻 t , 汽艇的滑行距离为 s = s(t) , 速度为 v(t)汽艇的质量为 m , 则( 米/秒)由又( 米/秒)(2) 由积分得(米)汽艇滑行的最远距离:(米)例13 求 (0 , + ) 上的连续连续 函数 f (x) , 使 ,且对任意正数 u , v 总成立:解 设 , 则 F(x) 满足:F(x) 满足:解得
