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1、第二章第二章 控制系统状态空间表达式的解控制系统状态空间表达式的解2-1 2-1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解( (自由解自由解) )2-2 2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移矩阵 2-3 2-3 线性定常系统非齐次方程的解线性定常系统非齐次方程的解 2-5 2-5 离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解 2-6 2-6 连续时间状态空间表达式的离散化连续时间状态空间表达式的离散化1建立了控制系统状态空间表达式之后，随之建立了控制系统状态空间表达式之后，随之 而来的是对其求解的问题。而来的是对其求解的问题。本章将重点讨论本章将重点讨论状态转移矩阵
2、的定义、性质状态转移矩阵的定义、性质和计算方法，从而导出状态方程的求解公式。和计算方法，从而导出状态方程的求解公式。本章讨论的另一个重要问题是本章讨论的另一个重要问题是连续时间系统连续时间系统状态方程的离散化问题。状态方程的离散化问题。无论对连续受控对象实无论对连续受控对象实 行计算机在线控制，或者采用计算机对连续时间行计算机在线控制，或者采用计算机对连续时间 状态方程求解，都要遇到这个问题。状态方程求解，都要遇到这个问题。22-1 2-1 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程的解( (自由解自由解) )所谓系统的自由解所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，是指系统输入为零时， 由初始
3、状态引起的自由运动。由初始状态引起的自由运动。 若初始时刻若初始时刻t t0 0时的状态给定为时的状态给定为x x(t (t0 0)=)=x x0 0，则式则式(2-1) 有唯一确定解有唯一确定解 (2-2)(2-2) 若初始时刻从若初始时刻从t=0t=0开始，即开始，即x x(0)=(0)=x x0 0；则其解为则其解为(2-3)(2-3)(2-1)(2-1)此时，状态方程为齐次矩阵微分方程此时，状态方程为齐次矩阵微分方程3既然式既然式(2-4)(2-4)是式是式(2-1)(2-1)的解，则式的解，则式(2-5)(2-5)对任意时刻对任意时刻t t 都成立，都成立，故故t t的同次幂项的系数
4、应相等的同次幂项的系数应相等，有，有证明：证明：与标量微分方程求解类似，与标量微分方程求解类似，先假设式先假设式(2-1)(2-1) 的解的解x x(t)(t)为为t t的矢量幂级数形式的矢量幂级数形式，即，即(2-4)(2-4)代入式代入式(2-1)(2-1)得得(2-5)(2-5)4在式在式(2-4)(2-4)中，令中，令t=0t=0，可得可得5(2-6)(2-6)将以上结果代入式将以上结果代入式(2-4)(2-4) ，故得，故得等式右边括号内的展开式是等式右边括号内的展开式是n n n n矩阵，它是矩阵，它是一个矩一个矩 阵指数函数，记为阵指数函数，记为e eAtAt，即即(2-(2-7
5、)7)式式(2-6)(2-6)可表示为可表示为再用再用( (t-tt-t0 0) )代替代替( (t-0)t-0)，即在代替即在代替t t的情况下，同样可以的情况下，同样可以 证明式证明式(2-2)(2-2)的正确性。的正确性。6从这个解的表达式可知，它反映了从初始时刻的从这个解的表达式可知，它反映了从初始时刻的 状态向量状态向量x x0 0，到任意到任意t0t0或或tttt0 0时刻的状态向量时刻的状态向量x x(t) (t) 的一种向量变换关系，的一种向量变换关系，变换矩阵就是矩阵指数函变换矩阵就是矩阵指数函 数数e eAtAt。2-2 2-2 矩阵指数函数矩阵指数函数状态转移矩阵状态转移
6、矩阵一、状态转移矩阵一、状态转移矩阵齐次矩阵微分方程齐次矩阵微分方程(2-1)(2-1)的自由解为的自由解为或或7它不同于上一章的线性变换矩阵它不同于上一章的线性变换矩阵T T，它不是一它不是一 个常数矩阵，个常数矩阵，它的元素一般是时间它的元素一般是时间t t的函数，即是的函数，即是 一个一个n n n n时变函数矩阵时变函数矩阵。从时间的角度而言，这意味着它使状态矢量从时间的角度而言，这意味着它使状态矢量 随着时间的推移，不断地在状态空间中作转移，随着时间的推移，不断地在状态空间中作转移， 所以所以e eAtAt也称为状态转移矩阵，通常记为也称为状态转移矩阵，通常记为( (t) t)。表示
7、表示x x(0)(0)到到x x(t)(t)的转移矩阵，的转移矩阵，表示表示x x(t (t0 0) )到到x x(t)(t)的转移矩阵。的转移矩阵。的解，又可表示为的解，又可表示为 或或8它的几何意义，以二维状态矢量为例，可用它的几何意义，以二维状态矢量为例，可用 图形表示，如图图形表示，如图2-12-1所示。所示。从图可知，在从图可知，在t=0t=0时时, , 若以此为初始条件若以此为初始条件, ,且已知且已知 ( (t t1 1) ), ,那么在那么在t=t=t t1 1时的状态将时的状态将 为为(2-8)(2-8)9若已知若已知( (t t2 2) )，那么那么t=t=t t2 2时的
8、状态将为时的状态将为(2-(2-9)9)即状态从即状态从x x(0)(0)开始，将按开始，将按( (t t1 1) )或或( (t t2 2) )转移到转移到x x( (t t1 1) )或或x x( (t t2 2) )，在在状态空间中描绘出一条运动状态空间中描绘出一条运动 轨线。轨线。10(2-10)(2-10)若以若以t=t t1 1作为初始时刻，则状态作为初始时刻，则状态x x( (t t1 1) )是初始状是初始状 态，从态，从t t1 1转移到转移到t t2 2的状态将为的状态将为(2-11)(2-11)用式用式( (2-82-8) )的的x x( (t t1 1) )代入上式，可
9、得代入上式，可得式式(2-11)(2-11)表示从表示从x x( (0 0) )转移到转移到x x( (t t1 1) )，再由再由x x( (t t1 1) )转移到转移到 x x( (t t2 2) )的运动规律。的运动规律。比较式比较式(2-9)(2-9)和式和式(2-11)(2-11)，可知，可知转移矩阵转移矩阵( (或矩或矩 阵指数阵指数) )有以下关系有以下关系(2-12)(2-12)或或11综上分析可以看出，利用状态转移矩阵，可综上分析可以看出，利用状态转移矩阵，可 以从任意指定的初始时刻的状态矢量以从任意指定的初始时刻的状态矢量x x( (t t0 0) )，求得求得 任意时刻
10、任意时刻t t的状态矢量的状态矢量x x( (t t) )。换言之，换言之，矩阵微分方程的解，在时间上可以矩阵微分方程的解，在时间上可以 任意分段求取任意分段求取，这是动态系统用状态空间表示法，这是动态系统用状态空间表示法 的又一优点。的又一优点。因为在经典控制理论中，用高阶微分方程描因为在经典控制理论中，用高阶微分方程描 述的系统，在求解时，对初始条件的处理是很麻述的系统，在求解时，对初始条件的处理是很麻 烦的，一般都假定初始时刻烦的，一般都假定初始时刻t=0t=0时，初始条件也为时，初始条件也为 零，即从零初始条件出发，去计算系统的输出响零，即从零初始条件出发，去计算系统的输出响 应。应。
11、12二、状态转移矩阵二、状态转移矩阵( (矩阵指数函数矩阵指数函数) )的基本性质的基本性质1 1性质一性质一(2-13)(2-13)这就是组合性质，它意味着从这就是组合性质，它意味着从- - 转移到转移到0 0，再从，再从0 0转转 移到移到t t的组合，即的组合，即132. 2. 性质二性质二上述二性质均可由式上述二性质均可由式( (2-7)2-7)的定义得到证明。的定义得到证明。(2-14)(2-14)本性质意味着状态矢量从时刻本性质意味着状态矢量从时刻t t又转移到时刻又转移到时刻 t t，显然状态矢量是不变的。显然状态矢量是不变的。14这个性质是转移矩阵的逆意味着时间的逆转，这个性质
12、是转移矩阵的逆意味着时间的逆转， 利用这个性质，可以在已知利用这个性质，可以在已知x x(t)(t)的情况下，求出小的情况下，求出小 于时刻于时刻t t的的x x( (t t0 0) )，( (t t0 0t)t)。 3 3性质三性质三(2-15)(2-15)或或15这个性质说明，这个性质说明，( (t) t)或或e eAtAt矩阵与矩阵与A A矩阵是可矩阵是可以交换的。读者可自行证明。以交换的。读者可自行证明。4 4性质四性质四对于转移矩阵，有对于转移矩阵，有(2-16)(2-16)或或165 5性质五性质五这个性质说明，除非这个性质说明，除非A A与与B B矩阵是可交换的，矩阵是可交换的，
13、 它们各自的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数它们各自的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数 函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的 。对于对于n n n n方阵方阵A A和和B B，当且仅当且仅当当ABABBABA时时；有；有而而当当ABAB BABA时时，则，则17三、几个特殊的矩阵指数函数三、几个特殊的矩阵指数函数1. 1. 若若A A为对角线矩阵为对角线矩阵，即，即则则18则则(2-18)(2-18)(2-17)(2-17)2 2. . 若若A A能通过非奇异变换予以对角线化能通过非奇异变换予以对角线化，即，即 193 3. . 若若A A为约旦
14、矩阵为约旦矩阵，即，即则则(2-19)(2-19)204 4. . 若若(2-20)(2-20)21四四. . (t)(t)或或e eAtAt的计算的计算1. 1. 根据根据e eAtAt或或( (t) t)的定义直接计算的定义直接计算22已知已知求求e eAtAt。 例例2-2- 11此法具有步骤简便和编程容易的优点，适合此法具有步骤简便和编程容易的优点，适合 于用计算机计算。但是于用计算机计算。但是采用此法计算难于获得解采用此法计算难于获得解 析形式的结果析形式的结果。解解232 2. . 变换变换A A为约旦标准形为约旦标准形(1) (1) A A特征值互异特征值互异由式由式(2-18)
15、(2-18)，有，有其中其中T T是使是使A A变换为对角线矩阵的变换阵。变换为对角线矩阵的变换阵。24根据式根据式(1-47(1-47) )，可求得相应的变换矩阵，可求得相应的变换矩阵 例例2-22-2同同 例例2-12-1 ，即，即解解2526(2) (2) A A特征值有重根特征值有重根同式同式(2-18(2-18) )，有，有27 例例2-32-3 求求解解按式按式(2-19)(2-19)28求出变换矩阵求出变换矩阵T T及及T T-1-1。按第一章所述方法可求得按第一章所述方法可求得29303. 3. 利用拉氏反变换法求利用拉氏反变换法求e eAtAt(2-21)(2-21)证明证明: : 齐次微分方程齐次微分方程两边取拉氏变换两边取拉氏变换31上式和式上式和式(2-3)(2-3)比较，故有比较，故有对上式两边取拉氏变换，得齐次微分方程的解对上式两边取拉氏变换，得齐次微分方程的解32 例例2-42-4解解同同2-1 2-1 ；试用拉氏变换法求；试用拉氏变换法求e eAtAt。334. 4. 应用凯莱应用凯莱- -哈密顿定理求哈密顿定理求e eAtAt(1)(1) 由凯莱由凯莱- -哈密顿定理，哈密顿定理，方阵方阵A A满足其自身的特征满足
