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1、第6章 离散时间时间 信号与系统统的时时域分 析16.1时域离散信号序列6.2序列的卷积和6.3线性移不变系统6.4离散时间系统的时域分析法6.5离散相关23信号自变量函数值时域连续信号时域连续信号模拟信号模拟信号连连 续续连连 续续时域离散信号时域离散信号序列序列离离 散散连连 续续数字信号数字信号离离 散散离离 散散4例如： ，这是一个模拟信号，若对它按照 时间采样间隔T=0.005s进行等间隔采样，便得时域离散信号 x(n)，即= ， 0.0， 0.6364， 0.9， 0.6364， 0.0， -0.6364， 0.9， -0.6364， 时域离散信号是时间离散化的模拟信号 5若用四位
2、二进制数表示该时域离散信号，便得到相应的数字信号xn，即xn= ，0.000，0.101，0.111，0.101，0.000，1.101，1.111，1.101， 数字信号数字信号幅度、 时间均离散化模拟信号模拟信号时域离散信号时域离散信号幅度离散化十进制二进制整数除2取余小数乘2取整十、二进制转换6信号模拟信号时域离散信号数字信号模拟系统时域离散系统数字系统系统存在量化误差存在量化误差n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6也可简单地表示为 x(n)1, 2, 3, 4, 3, 2, 1注： 集合中有下划线的元素表示n=0时刻的采样值。 例9#2 #2 用用公式公式表示序列表示序列例如：
3、x(n)=a|n| 01|1，则称为，则称为发散序发散序列列。其波形如图6.1.5所示。 图6.1.5 实指数序列 155正弦正弦序列数字数字域频率域频率( (也称数字频率也称数字频率) )，单位，单位：radrad 166复指数复指数序列设=0，用极坐标和实部虚部表示为：数字数字域域频率频率由于n取整数，故有：MM取整数取整数数字域频率中正弦序列复指数序列周期信号T=2177周期周期序列若若对对所有所有n n存在一个最小的正整数存在一个最小的正整数N N，使下，使下 面等式成立：面等式成立：（1.2.111.2.11） 则序列则序列x(n)x(n)为周期性序列，周期为为周期性序列，周期为N
4、N 。 图6.1.6 正弦序列 例如 ：即：如图6.1.6所示 = /4N取整T=818设一般正弦序列可表示为 那么若要则要N N=(=(2/2/ 0 0) )k k。式中，k与N均取整数，且k的取值要保证N是最小的正整数。满足这些条件，正弦序列才是以N为周期的周期序列。19具体正弦序列具体正弦序列的三种情况的三种情况当2/0为整数时，k=1，正弦序列是以2/0为周期的周期序列。例： 。2/0非整数，是一个有理数时，设2/0=P/Q，式中P、Q是互为素数的整数，取k=Q，那么N=P，则T=PT=P。例：sin(4n/5) 。 2/0是无理数，任何整数k都不能使N为正整数。正弦序列不是周期序列。
5、例：sin(n/4) 。20对于任意序列，可用单位采样序列的移位加权和表示，即 例如其波形如图6.1.7所示： 21图6.1.7 用单位采样序列移位加权和表示序列226.1.26.1.2序列序列的运算的运算序列的简单运算有加法加法、乘法乘法、移位移位、翻转翻转及尺度变尺度变换换。图6.1.8 序列的加法和乘法1 加法和乘法同同序号的序列值逐项对应序号的序列值逐项对应相加和相乘相加和相乘，如图6.1.8所示。 232 移位、翻转及尺度变换24图6.1.9 序列的移位移位、翻转翻转 和尺度变换尺度变换253 差分x(n)x(n)的一阶前向差分为的一阶前向差分为x(n)x(n)的一阶后向差分为的一阶
6、后向差分为266.36.3 线性移不变线性移不变系统系统在在时域离散系统时域离散系统中，最重要中，最重要和最常用的是和最常用的是线性时不变系统线性时不变系统，这是因为很多物理过程都可用这这是因为很多物理过程都可用这类系统表征，且便于分析、设计类系统表征，且便于分析、设计与实现与实现。图6.3.1 时域离散系统（6.3.1） 27系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系统称为线性系统。6.3.16.3.1 线性线性系统系统设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n)表示，即 线性系统一定满足叠加定理叠加定理 ： （6.3.2） （6.3.3） （6.3.4）
7、 （6.3.2）式表征线性系统的可加性；（6.3.3）式表征线性系统的比例性或齐次性28证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数）所代表的系统是非线性系统。因此，该系统不是线性系统。用同样方法可以证明所代表的系统是线性系统。例6.3.129如果系统对输入信号的运算关系T在整个运算过程中不随时间变不随时间变化化，或者说系统对于输入信号的响应输入信号的响应与信号加于系统的时间无关与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为移不变系统，用公式表示如右：6.3.26.3.2 移移不变不变系统系统n0为任意整数。（1.3.5） 30例6.3.2检查y(n)=ax(n)+b所代表的系统是否是移不变系统，式中
8、a和b是常数。解因此该系统是移不变系 统。31例6.3.3检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是移不变系统。该系统不是移不变系统。物理概念上可理解为该系统是一个放大器，其放大量是n，它随n变化，因此是一个时变系统。同理 所代表的系统也是时变系统。 326.3.36.3.3 线性时不变系统 线性时不变系统输入输入与与输出输出之间的之间的关系关系设系统的输入x(n)=(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种条件下的系统输出为系统的单位脉冲响应，用h(n)表示。h(n)和模拟系统中的单位冲激响应h(t)相类似，都代表系统的时域特征。 （6.3.6） 单位脉冲响应即系统对于(n)的零状态响
9、应。用公式表示为33设系统输入x(n)，表示成单位脉冲序列移位加权和为（6.3.7） 输出输出线性系统叠加线性系统叠加性质性质时不变时不变性质性质符号“*”代表卷积运算。34图解法 解析法 利用MATLAB语言的工具箱函数计算法计算卷积的三种方法 图解法 由 式，计算卷积的基本运算是翻转翻转、移位移位、相乘相乘和相加相加，这类卷积称为序列的线性卷积。若若两两个个序列的长度分别为序列的长度分别为N N和和MM，则则卷积卷积结果的长度为结果的长度为N NMM1 1。详见例题。详见例题35已知x(n)=R4(n), h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。例6.3.4 将h(n)用h(
10、m)表示，并将波形翻转，得到h(m) 将h(m)移位n， 得到h(nm)，n0 , 序列右移；n0，序列左移。如n=1，得到h(1-m) 将h(m)和h(nm)相乘后，再相加, 得到y(n)的一个值。对所有的n重复这种计算, 最后得到卷积结果。图解步骤36最后得最后得y(ny(n) )表达式表达式为为y(ny(n)=)=1 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 图6.3.2 例6.3.4线性卷积图解法37表6.3.1 图解法（列表法） 用用列表法列表法代替代替图解法图解法，上面的图解过程上面的图解过程如下表所如下表所示。示。 38 解析法 若已知若已知两个
11、卷积信号的解析表达式，则可以直接两个卷积信号的解析表达式，则可以直接按卷积按卷积式式进行计算进行计算设x(n)=anu (n) ，h(n)=R4(n)，求y(n)=h (n)*x (n)。例6.3.5解 ：计算上式，关键是确定求和的上、下限。因为nm时，u(n-m)才能取非零值； 0m3时，R4(m)取非零值, 则m要同时满足： mn ； 0m3分析39求和限与n有关系，必须将n进行分段然后计算。 n n 0 0时时 y(ny(n)=0)=00n30n3时，乘积的非零值范围为时，乘积的非零值范围为0mn0mn，则则 n4n4时，乘积的非零区间为时，乘积的非零区间为00m m33，则则 用MAT
12、LAB计算两个有限长序列的卷积40线性卷积服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下：（6.3.9） （6.3.8）（6.3.10） 结合律成立的条件：任意两个信号的线性卷积都存在。：任意两个信号的线性卷积都存在。41图6.3.3 卷积的结合律和分配律42（6.3.11）式是一个线性卷积式，它表示序列x(n)与单位脉冲序列的线性卷积等于序列本身x(n)（6.3.11） 关于系统级联、并联的等效系统的单位脉冲响应与原来两系统分别的单位脉冲响应的关系，是基于线性卷积的性质，而线性卷积是基于线性时不变系统满足线性叠加原理。因此因此, , 对于非线性或者非时不变系统，这些结论是不成立对于非线性
13、或者非时不变系统，这些结论是不成立的。的。 TipsTips43（1.3.12） 例6.3.6在图6.3.4中，h1(n)系统与h2(n)系统级联，设求系统的输出y(n)。 图6.3.4 例6.3.5框图44解解: : 先求第一级的输出m(n)，再求y(n)。 由例6.3.5的计算结果知道：456.3.46.3.4 系统的 系统的因果性因果性和和稳定性稳定性（6.3.13） （6.3.14） 因果系统因果系统 充要条件： 稳定系统稳定系统充要条件：46例6.3.7设线性移不变系统的单位系统脉冲响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解： 由于n0时，h(n)=0，
14、因此系统是因果系统。只有当|a|1时, 才有因此|a|1系统稳定h(n)的模值随n加大而减小h(n)收敛序列|a|1系统不稳定h(n)的模值随n加大而增大h(n)发散序列47例6.3.8设系统的单位脉冲响应h(n)=u(n)，求对于任意输入序列x(n)的 输出y(n)， 并检验系统的因果性和稳定性。解nk0时，u(n - k)=0; nk0时，u(nk)=1, 求和限为kn因此48（6.3.15） 该系统是一个累加器，它将输入序列从加上之时开始，逐项累加，一直加到n时刻为止。因此该系统是一个不稳定系统。自然地，该系统是一个因果系统。 稳定性稳定性：由于例6.3.8设系统的单位脉冲响应h(n)=
15、u(n)，求对于任意输入序列x(n)的 输出y(n)， 并检验系统的因果性和稳定性。解49描述一个系统时，可以不管系统内部的结构如何，将系统看成一个黑盒子，只描述或者研究系统输出和输入之间的关系，这种方法称为输入输出描述法。6.4 6.4 时域时域离散系统的输入输出描述离散系统的输入输出描述法法 线性常系数差分方程线性常系数差分方程 模拟系统 由微分方程描述系统输出输入之间的关系。 时域离散系统 用差分方程描述或研究输出输入之间的关系。 线性时不变系统 常用线性常系数差分方程。506.4.16.4.1 线性线性常系数常系数差分方程差分方程一个N阶线性常系数差分方程用下式表示：（6.4.16.4.1） x(n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，ai和bi均为常数，式中y(ni)和x(ni)项只有一次幂，也没有相互交叉相乘项，故称为线性常系数差分方程。差分方程的阶数是用方程y(ni)项中i的取值最大与
