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1、 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 1Chapter 5 弹性力学问题的建立5-1 弹性力学基本方程1、平衡方程在直角坐标系中：在柱坐标系中：简记为：应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 2在球坐标系中2、几何方程： 在直角坐标系中：简记为：体积应变在柱坐标系中3体积应变在球坐标系中体积应变应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 其中 为工程弹性常数3、物理方程（本构方程、广义虎克定律）：4以应力分量表示应变分量：以应变分量表示应力分量：简记为
2、：其中、 为拉梅系数。体积应变。应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 5以应变能密度函数和应变余能密度函数表示应力和应变：应变能应变余能则4、边界条件： 外力边界条件：简记为：位移边界条件：简记为：应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 5、应变协调方程：6应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 7讨论： 1当物体处于弹性状态时，弹性力学基本方程有：平衡方程：3个； 几何方程：6个； 物理方程： 6个 共15个基本方程，可以在给定的边界条件下求解15
3、个未知量：位移分量： u, v, w 3个应变分量： 6个 应力分量： 6个2弹性力学的基本方程组一般地控制了弹性体内应力、应变和位移之间相互关系的普遍规律。考虑具体边界条件的定解问题则具体给出了各边值问题的特定规律。应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 3一般情况下,求解弹性力学问题要求给出以下一些基本条件.a、弹性体的几何形状，物理性质。b、作用于弹性体上的体力和面力。c、弹性体受约束的情况。85-2. 求解弹性力学问题的基本方法应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 1提出：按基本未知量划分
4、：考虑到弹性力学问题基本方程中应力， 应变和位移分量之间的关系,可以位移分量为基本未知量求解， 或以应力分量为基本未知量求解，分别称之为位移法和力法。按求解技术划分：考虑到弹性力学问题的复杂性，对于一些 较为典型的问题，可以用解析法求解。但对于大量的弹性力学问 题，要采用近似法或数值方法求解。如有限差分法，有限单元法 等。9应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 2位移法求解的主要方程：以位移分量为基本未知量时，1应力分量2平衡方程（拉梅方程） 展开为： 其中3外力边界条件：10应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY
5、OF SOLIDS 3力法求解的主要方程： 以应力分量为基本未知量时，协调方程为 (Beltrami-Michell方程)：11应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 其中常体力下，有* 注意：无论是位移法还是力法求解弹性力学问题，需要在严格 的边界条件下求解复杂的偏微分方程组，在数学上往往是比较困 难的。对于一些典型问题，常采用逆解法和半逆解法。125-3. 弹性力学解的唯一性定理应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 1、提出：1对偏微分方程而言，解的适定性问题是非常重要的。 所谓适定性，包括：
6、 存在性、稳定性、唯一性。 弹性力学问题 的控制方程是偏微分方程组，也要讨论解的适定性。2由于弹性力学问题求解的复杂性，常采用逆解法和半逆解 法，认为选取的解答只要满足基本方程和边界条件，就是正确的 解。这只有在解是唯一性这样一个前提下才能成立。2、适定性讨论：1解的存在性：存在性仅从数学上探讨是不容易的，但对于 弹性力学问题，从物理上看，这是很自然的，因为有了受力和约 束，弹性体就会存在应力、应变和位移。2解的稳定性：稳定性是指当定解条件有微小变动时，解也 只作微小变动。稳定性的讨论不论在数学上还是在物理上都是很 复杂的，这里只能先做肯定的认可。13应用弹塑性力学 APPLIED ELAST
7、O-PLASTICITY OF SOLIDS 3解的唯一性唯一性定理：受力作用和边界位移约束的弹性体处于平衡 时，其应力、应变和位移的解是唯一的。证明：采用反证法。假设可能存在两组解：这两组解对应于同一边界条件和受力情况。则这两组解的差：必然满足体力为零的平衡方程： 以及外力为零的外力边界条件： 和 位移为零的位移边界条件：这里 为弹性体的全部边界， 为外力边界， 为位移边界。14应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 显然，解 对应于不受外力作用、边界上不产生位移 的弹性力学问题，它们只能是零解。 因为若 是非零解，则弹性体内有变形能存在，而变
8、 形能是外力作功的结果。由于外力功为零，故产生矛盾。5-4 叠加原理1、 弹性力学问题解的可叠加性：由于弹性力学基本方程和边界条件都是线性的，所以可叠加 性成立。即，对于同一弹性体，在两组不同的受力情况下的两组 解，当两组受力叠加成一组受力时，其解便是前两组解的叠加。2、叠加原理的证明： 设弹性体受力：15应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 外力边界条件：叠加：结论：平衡方程3、讨论：1叠加原理成立的条件：小变形、线弹性本构方程。2对非线性问题和大变形情况，叠加原理不能适用。3叠加原理对弹性力学问题和其它线性问题有非常广泛的应用 ，很多情况下
9、是解决问题的重要途径。165-5.圣维南(Saint Venant)原理： 1、提出：求解弹性力学问题时，对应于不同的边界条件，弹性 体内则有不同的应力场和位移场。在解决实际问题时，往往边界条件比较复杂，如果完全按实际 情况处理，可能根本无法求出解答。但是通过将边界条件加以较 少的改变就有可能求出解答来。那么，边界条件改变应遵循什么 规则，改变边界条件后求出的解答与实际情况的符合程度如何？ 2、圣维南原理：应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS （i）若作用在物体表面较小区域上的力（系）由一个静力等 效的力（系）代替，则在离此区域较远处的应力分布
10、所受影响可 忽略不计。（ii) 作用在物体表面某一小部分上自相平衡的力（系），只 引起靠近受力作用面处附近区域的局部应力，在离受力表面稍远 处（与受力作用区域尺寸相比），其值甚小，可忽略不计。 17应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS PP/2P/2P/APP*注意:圣维南原理的应用条件 18应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 5-6.双调和函数： 1、提出：由于弹性力学方程的复杂性，为了在求解弹性力学问 题时减少盲目性，考察应力、应变、位移函数的特点。 2、不计体力（或体力为常数）时， 、J
11、1 是调和函数。由拉梅方程三式相加，有19应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 3、不计体力（或体力为常数）时，位移分量是双调和函数。由拉梅方程对拉梅方程进行拉普拉斯计算，并应用 ，有对拉梅方程表示的应力分量函数进行两次拉普拉斯计算 ，并应用应用以上结论即得。4、不计体力（或体力为常数）时，应力分量是双调和函数。20应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 例：棱柱形杆件受自重作用而产生的应力、应变分量分别为：由几何方程试求位移分量。解： 1、显然满足平衡微分方程、变形协调方程2、位移分量lxZo积
12、分由21应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 即式（a)对y、式( c )对z分别进行一次求导，得是y、z的一次函数故可设由对称性：在x = y = 0处，u = v =0 知故有 a = c =0, e = g = 0是x、z的一次函数22应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 故 f = b hx =d y是 x 、 z 的 一 次 函 数在x = y 处，由u = v , 得 =由式（a） b + dy + f + hz = 0故而由式（ c ）所以： b = d = f = h = 0积分
13、23应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 又由式（b）积分lxZo 在x = y = 0 , z = l 处，由 w = 0 得所以且故有24例题：图示橡皮立方块放在同样大小的刚性盒内，上面用刚性盖密封后加均匀压力q. 设橡皮与盖盒间无摩擦力，且不考虑体力。求：橡皮受力后的位移场和应力分布。应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 解一：分析：由于橡皮周围四壁均为刚性， 则由对称性知 u = v = 0，w = w(z) zz0qy x体积应变 由拉梅方程：有25由边界条件：z = 0，w = 0
14、则 C2= 0 得 w =C1z考虑外力边界条件：z = z0 处 应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 由积分： w=C1z+C2 考虑于是有或应力分量：zz0qy x26应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 主应力和最大切应力为：解二：由题意知：广义虎克定律给出：解出：利用外力边界条件：则有：积分于是当 z = 0 时，w = 0 ，则 c1 =027应用弹塑性力学 APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS 讨论：1、推导以位移分量表示的平衡方程拉梅方程2、推导以位移分量表示的外力边界条件3、推导以应力分量表示的变形协调方程
