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1、 结构动力计算的“基本要求”小结 基本功：熟练掌握刚、柔度系数的概念及计算技巧。 一.会判定自由度 二.单自由度体系的自由和受迫振动 1.会列振动方程，刚、柔度法均掌握； 2.会求自振频率 3.会求动力系数，并理解其意义； 只有干扰力与质量运动方向共线， 才有相同的位移、动力放大系数 刚度法 研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程， 需要用到刚度系数。柔度法 研究结构上质点的位移，建立位移协调方程， 需要用到柔度系数。 确定全部质量的位置，所需独立几何参数的个数。动力自由度：mE、A、I、 R体系振动自由度为？无限自由度(忽略 )三个自由度忽略轴向变形忽略转动惯量自由度为？单自由度m例：简
2、支梁： 结构动力计算的“基本要求”小结 基本功：熟练掌握刚、柔度系数的概念及计算技巧。 一.会判定自由度 2个自由度 y2y12个自由度 mmm梁m+m梁II2Im+m柱厂房排架水平振 时的计算简图单自由度体系 y1y1y1y2EI EAy1 y2水平振动时的计算体系 3个自由度 4个自由度 m1m2m32个自由度 自由度与质量数 不一定相等 y1y2y1y3y2y3 y4y1y2 结构动力计算的“基本要求”小结 基本功：熟练掌握刚、柔度系数的概念及计算技巧。 二.单自由度体系的自由和受迫振动 1.会列振动方程，刚、柔度法均掌握； 2.会求自振频率 3.会求动力系数，并理解其意义； 只有干扰力
3、与质量运动方向共线， 才有相同的位移、动力放大系数 刚度法 研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程， 需要用到刚度系数。柔度法 研究结构上质点的位移，建立位移协调方程， 需要用到柔度系数。 I(t) 振动微分方程的建立 （1）规定位移（速度、加速度）的正向（定坐标） （拟静力法、动静法将惯性力作为静力考虑） （按达朗伯尔原理） 1.动平衡方程法（刚度法） m.yj.yd静平衡位置为原点 方程与重力无关k力学模型 .y(t) mmS(t)考察质点受力 y惯性力 （2）考察质点受力 结构（弹簧）对质点的弹力 沿正向标注质点的惯性力 （惯性力恒与加速度反向 ） （3）列动平衡方程 （回复力恒指向
4、原点方向 ） 振动微分方程 2.位移方程法（柔度法） 静平衡位置为原点 方程与重力无关 FP=1my（2）规定位移的正向（定坐标） （1）确定柔度系数 单位力引起的位移 （4）写出位移方程（考虑结构的位移协调） 惯性力引起的位移 1/k 因为1/k， 所以上式与 等同。 （3）标出惯性力（沿正向） 整理得： （1）刚度法 研究作用于被隔离的质量上的力，建立 平衡方程，需要用到刚度系数。 方法小结 （2）柔度法 研究结构上质点的位移，建立位移协调方程， 需要用到柔度系数。刚度法 柔度法 （3）方法选择 谁较简单？ 谁较容易求得。 取决于结构的 柔度系数 刚度系数 超静定结构，查表（形常数） 静定
5、结构，图乘法求 顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！ 自由振动微分方程的解方程： 改写为 令： 则方程为 （二阶线性齐次微分方程） （积分常数C1，C2由初始条件确定） 1.一般解 正弦表达的通解： mI(t)2.初位移 3.初速度 4.振幅 5.初相角 （t=0 ） （t=0 ） （t=0 ） ky 单自由度体系的强迫振动 列振动微分方程 mEIl /2 l /2EI1FP(t) I(t) 1.刚度法 2.柔度法 动平衡方程： 位移方程： 即： 即： （动荷载即干扰力 F(t)） 动荷载惯性力二、简谐荷载 mtFyyqwsin2=+& &1.振动方程 2.微分方程通解（数学步骤略）
6、齐次通解 特解 由初始条件： 得 得 伴生自由振动部分，因阻尼，会很快消逝 纯受迫振动 （瞬态） （稳态） 3.纯受迫振动 F 作为静力引起的 静位移 放大系数 若干扰力作用在质量运动方向上， 则位移、动力放大系数相同。（这里是位移放大） 4.弄懂共振原理，以及阻尼对共振区的重大影响。 m1mPsint解： 例题 例1在悬臂梁上有一电动机，干扰力P sint，P =4.9kg， n=1200转/分。I =78cm4、E =2.1106kg/cm2。电动机重量 123kg。求：振幅、最大弯矩。1）求放大系数 （柔度法） 统一量纲N.m 4）振幅 5）最大动弯矩 2）动力荷载幅值所引起的静位移 3
7、）最大动力位移 6）最大弯矩 m1mPsint例2已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1,求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。2mEImkPsint2m解：1)求2)求3)求yDmax ， MDmax （柔度法） 例3 求刚架的振幅、柱中剪力和弯矩幅值。 EIEIlmPsint16EI/l2解： （单位弯矩图） （刚度法） 例3建立图示a体系振动微分方程解： （刚度法） 这是个单自由度体系，可设B 截面B截面转角 为坐标，此 时，作用于分布质量 是的惯 性力呈三角形分布，其端部 集度为B结点的隔离体如图c所示惯性力对B结点的力矩为 ：B结
8、点的隔离体如图所示惯性力对B结点的力矩为 ：动力荷载对B结点的力矩为：弹性恢复力对B结点的力矩为 ：体系振动微分方程例3建立图示a体系振动微分方程解： （柔度法） 惯性力对B结点的力矩为 ：由图b可知，B截面的转角 是由动力荷载 和惯性力 矩 Mi共同引起体系振动微分方程例4图示结构在杆端A处作用有力矩 ， 弹性支座的刚度为k,各刚性杆的质量可以不计，求各质 量的最大动位移。解:这是个单自由度体 系，先建立运动方程， 再求解。mA2mBCmA2mC消去两部分的互相作用力 ,求得：可求得：mA2mBC三.两个（多个）自由度体系的自由振动 1.会列振动方程，并用矩阵式表示，刚、柔度法均掌握； 2.
9、会求自振频率； （对角质量矩阵） （刚度矩阵） （刚度法） （柔度矩阵） （柔度法） （刚度法频率方程） （柔度法频率方程） （两个频率1、2，规定12 ） 3.会求主振型，并绘振型图； 主振型对应于特定初始条件，结构振动形状保持不变的振动形式。 对应于1的第一振型： 对应于2的第二振型： 刚度法 柔度法 4.会利用对称性判定主振型，并取半结构简化求频率； 偏柔的振型为低阶振型 （1）有两个自振频率： （3）特定的初始条件下，体系将以频率1（或2）按照第一 （或第二）振型作简谐振动； （4）一般初始条件下的自由振动是各个振型的叠加； （5）两个振型之间存在着正交关系 （6）如果结构、质量均对称
10、，则两个振型分别为正、反对称。 （可取半结构，降为一个自由度，使计算简化） （2）对应于两个自振频率，有相应的两个主振型； 由功的互等定理可以证明： 第一正交（关于质量） 第二正交（关于刚度） （振型分解法要用到） 5.明确两个（多个）自由度体系自由振动的主要特点： 偏柔的振型为低阶振型 四.两个（多个）自由度体系的简谐受迫振动 1.会列振动方程，并用矩阵式表示，刚、柔度法均掌握； （刚度法） （柔度法） 2.了解特点： （1）有两个共振频率； （3）稳态的位移、惯性力与干扰力同频、同步、同达幅值。 （2）位移与内力无统一的放大系数； （位移） （惯性力） （干扰力） 五.两个（多个）主振型的
11、正交性1.第一正交关系； 2.第二正交关系： 例5 试求图示体系的自振频率和主振型。 mm11m m 11l/3 l/3 l/3 （1）振型已知，直接判定 解：利用对称性简化 判定正对称 为第一振型 判定反对称 为第二振型 （2）求频率（采用半结构简图） m正对称 半结构 反对称 半结构 m（用图乘法求得） 偏柔的振型为低阶振型 习题6 求图示结构的自振频率和主振型，并验证主 振型的正交性。已知弹簧刚度为 ，不计杆件的 轴向变形。解:用刚度法求解（1）求刚度系数mEI2mEIEI2EI12（2）求自振频率将 以及刚度系数代入上式，得： （3）求主振型设： 求得： 设： 求得： （4）验证主振型的正交性习题7 求图示结构的自振频率，其中刚性杆每单位 长度具有均布质量 ，而弹性杆的质量可以不计。EIEIEIEI12解:采用刚度法求解。（1）求刚度系数（2）求自振频率求得：习题7 已知图（a）结构的自振频率为 ，由此求出图（b）和图（c）结构的自振频率，图（c）需 考虑二力杆的轴向变形。LLEIEILL2EI2EILLL（a）（b）（c）解：（1）求（b）图的自振频率（b）与（a）相比，多了一跨附属结构，对计算没有影响，因此有：EIEIEIEI（2）求（c）图的自振频率（a）结构的刚度为：（c）结构增加的刚度二力杆与边柱是串联关系，增加的刚度：中柱 ：
