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1、第四章 随机向量及其概率分布1 随机向量的联合分布在某些实际问题中, 往往需要同时用两个或两个以上的 随机变量来描述试验的结果, 例如某地区对儿童进行抽查 身体, 测量被抽儿童的身高H和体重W, 这里样本空间S= e =某地区的全部儿童, 而H(e)和W(e)是定义在S上的两 个随机变量. 1. 二维r.v.定义: 设E是一个随机试验, 样本空间是S=e,设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的r.v., 由 它们构成的一个向量(X, Y), 叫做二维r.v.注: 二维r.v. (X, Y)的性质不仅与X和Y有关, 而且还依赖于这两个r.v.的相互关系.如何描述二维r.v.(X, Y)的统计
2、规律? 首先可用分布函数.2. 二维r.v.(联合)分布函数:图2二维r.v.的分布函数的基本性质与一维r.v.的分布函 数F(x)的性质类似.若将(X, Y)看成平面上随机点的坐标, 则分布函数F(x,y)的 值为(X,Y)落在阴影部分的概率(如图1)图13. 下面分别讨论二维离散型和连续型r.v.(一) 二维离散型r.v.例1. 设r.v. X在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取值, r.v. Y则在1X中等可能地取一整数, 试求(X, Y)的 分布律.Y 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/162 0 1/8 1/12 1/163 0 0 1/12 1/164 0 0
3、 0 1/16X(二) 二维连续型r.v.注: 关于二维r.v.的定义, 分布函 数及其性质, 二维离散型r.v.连续 型r.v.等概念不难推广到n(n2) 维r.v.的情况. 2. 边缘分布 一、边缘分布函数：二、边缘分布律：例1(续)Y 1 2 3 4 pj 1 1/4 1/8 1/12 1/162 0 1/8 1/12 1/163 0 0 1/12 1/164 0 0 0 1/16piX1/41/41/41/425/48 13/48 7/48 3/48 1三、边缘概率密度:注: 由二维随机变量(X,Y)的概率分布(X,Y的联合分 布可唯一地确定X和Y的边缘分布, 反之, 若已知X,Y 的
4、边缘分布, 并不一定能确定它们的联合分布.3. 条件分布 一、二维离散型r.v.的情况:例1. 设(X, Y)的分布律为:Y 0 1 2 3 0 0.840 0.030 0.020 0.010 1 0.060 0.010 0.008 0.002 2 0.010 0.005 0.004 0.001 求在X=1时Y的条件分布律.X用表格形式表示为:k 0 1 2 PY=k|X=1 2/3 2/9 1/9 例2 一射击手进行射击, 击中目标的概率为p(0p1), 射击到击中目标两次为止, 设以X表示首次击中目标 进行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数,试求 X和Y的联合分布律和条件分布律.二、二
5、维连续型r.v.首先引入条件分布函数,然后得到条件概率密度.进一步可以化为:例3. 设数X在区间(0,1)上随机地取值, 当观察到 X=x(0x1)时, 数Y在区间(x, 1)上随机地取值, 求Y的概率密度.4. 随机变量的独立性 由两个事件相互独立的概念可引出两个随机变量 相互独立的概念. 若P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A, B相互独立.2.等价定义:例: 设X和Y都服从参数=1的指数分布且相互独立,试求PX+Y1.3.命题：设(X, Y)服从二维正态分布, 则X, Y相互独 立的充要条件是 =0.所以: =0.4. 一个重要定理: 设(X1, X2, , Xm)和(Y1, Y2
6、, Yn)相互独立, 则Xi (i=1,2, m)和Yj(j=1,2, n)相互独立,又若h, g是连续函 数, 则h(x)和g(y)相互独立.5. 边缘分布及相互独立性的概念可以推广到n维r.v. 的情况.5. 随机向量的函数的分布(一) 和(Z=X+Y)的分布:已知(X,Y)的联合密度是f(x, y), 求Z=X+Y的分布 密度.结论: 若X, Y是连续型r.v.且X与Y相互独立,则X+Y 也是连续型r.v.且它的密度函数为X与Y的密度函数 的卷积.例1. 设X和Y相互独立, 且都服从N(0, 1),求:Z=X+Y的概率密度.结论:(二) M=max(X,Y)及m=min(X, Y)的分布
7、:设X,Y相互独立, 分布函数分别为FX(x)和FY(y). 首先求M=max(X,Y)的分布. 推广: 设X1, X2, , Xn相互独立, 分布函数分别为F1(x), F2(x), , Fn(x), 则 M = max(X1,X2,Xn)的分布函数为 FM(z) = F1(z) F2(z) Fn(z)N = min(X1, X2, , Xn)的分布函数为FN(z) = 1-(1-F1(z) (1-F2(z) (1-Fn(z)特别地, 当X1, X2, , Xn i.i.d.时, 设分布函数为F(x), (四) 利用“分布函数法”导出两r.v.的和,商等的分布函数或密度函数的公式, 其要点为
8、:(三) 对于离散型r.v. 的函数的分布:设X,Y是离散型r.v.且相互独立, 其分布律分别为:PX=i=pi, i=0,1,2,3,; PY=j=qj, j=0,1,2,3,求Z=X+Y的分布律.解: PZ=i=PX+Y=i(X与Y相互独立)于是有: 这就是Z=X+Y的分布律.例 设X,Y是相互独立的r.v., 分别服从参数为1,2的 泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为1+2泊松分布.证明:由上式知,从而证明Z=X+Y也服泊松分布.第四章 习题课一. 主要内容： (1) 二维r.v.的分布函数, 离散型r.v.的联合分布, 连续型r.v.的联合概率密度.(2) 边缘分布函数;边缘分布律;
9、边缘概率密度.(3) 条件分布律; 条件概率密度.(4) 随机变量的相互独立.(5) 两个r.v.函数的分布.1.设某人从1, 2, 3, 4四个数中依次取出两个数,记X 为第一次所取出的数, Y为第二次所取出的数, 若 第一次取后不放回, 求X和Y的联合分布律.二. 练习题:1.设某人从1, 2, 3, 4四个数中依次取出两个数, 记X为第一次所取出的数, Y为第二次所取出 的数, 若第一次取后不放回, 求X和Y的联合分 布律.=PX=iPY=j|X=i6. 设离散型随机变量X与Y的分布列分别为X 0 1 2 Y 0 1pk 1/2 3/8 1/8 pk 1/3 2/3且X与Y相互独立, 求
10、:(1) Z=X+Y的分布列; (2) (X,Y)的联合分布列；(3) M=max(X,Y); (4) N=min(X,Y).5.解6. 设离散型随机变量X与Y的分布列分别为 X 0 1 2 Y 0 1 pk 1/2 3/8 1/8 pk 1/3 2/3 且X与Y相互独立, 求:(1) Z=X+Y的分布列; (2) (X,Y)的联合分布列;(3)M=max(X,Y);(4)N=min(X,Y).PZ=0=PX=0,Y=0=PX=0PY=0=1/6.PZ=1=PX=0,Y=1+PX=1,Y=0=11/24. PZ=2=PX=1,Y=1+PX=2,Y=0=7/24. PZ=3=PX=2,Y=1=1
11、/12. (2) Y 0 10 1/6 1/31 1/8 1/42 1/24 1/12x Z 0 1 2 3 pk1/121/611/247/24解: (1)故Z=X+Y的分布列为即 M 0 1 2pk1/617/241/8N 0 1pk2/31/3PN=0=PX=0,Y=0+PX=0,Y=1+PX=1,Y=0+PX=2,Y=0=1/6+1/3+1/8+1/24=2/3; PN=1=PX=1,Y=1+PX=2,Y=1=1/3(4)即PM=0=PX=0,Y=0=1/6; PM=1=PX=1,Y=1+PX=1,Y=0+PX=0,Y=1=1/4+1/8+1/3=17/24; PM=2=PX=2,Y=0+PX=2,Y=1=1/8;(3)复习题（三）第4题
