金融时间序列分析杨虎锋 yanghufeng@ :530846815 经济管理学院502室2第三章 平稳金融时间序列：AR模型3.1 基本概念3.2 一阶自回归模型 AR（1）3.3 二阶自回归模型 AR（2）3.4 p阶自回归模型 AR（p）（1）自协方差（2）自相关函数（3）弱平稳与严平稳（4）白噪音3.1 基本概念方差：假定 是一个随机变量，若 存在，则称 为X的方差，记为Var（X）方差常用来体现随机变量X 取值分散程度的量自协方差协方差：设（X,Y）是二维随机变量，若则称为随机变量X和Y的协方差，记为Cov（X,Y）自协方差协方差表示的是两个变量的总体的误差：Ø 若两个变量的变化趋势一致，则协方差为正；Ø 若两个变量的变化趋势相反，则协方差为负；Ø 若两变量相互独立，则协方差为0自协方差：假定 是一个随机变量，其自协方差为 与其自身滞后j期 之间的协方差，即为：对于均值保持不变的随机过程来说，时，即为方差：案例：消费物价指数自协方差CPI一阶差分的自协方差随机变量x和y的相关系数模型为：自相关函数，即 与 的自相关函数定义为：将 相对于滞后期数j绘制出的图示称为自相关图。
自相关函数(ACF)CPI一阶差分的相关系数弱平稳的定义：也叫协方差平稳或二阶平稳，对于随机时间序列 ，如果其期望值、方差以及自协方差均不随时间t变化而变化，则称 为弱平稳随机变量，即对于所有时间t， 必须满足以下条件：(1) 为不变的常数；(2) 为不变的常数；(3) 弱平稳与严平稳弱平稳变量：均值和方差恒定，并且协方差只与滞后期j 有关，而与时间t没有任何关系 与之间的自协方差和 与 之间的自协方差相当现实中可根据随机变量不满足一个或几个条件，判断该变量是否为弱平稳CPI一阶差分的60日移动平均CPI一阶差分的自协方差平稳还暗示着：对于一个弱平稳过程 ，自相关函数由于弱平稳变量的方差和协方差不随时间的变化而变化，所以自相关函数也不依赖于t的取值，而与滞后期数j有关并且有：严平稳的定义：如果对于任何 ，随机变量的集合 只依赖于不同期之间的间隔距离 而不依赖于时间t，那么这样的集合称为严格平稳过程或简称为严平稳过程，对应的随机变量称为严平稳随机变量。
白噪音过程：一个随机过程如被称为白噪音过程，则组成该过程的所有随机序列彼此互相独立，并且均值为0，方差为恒定不变值即对于所有时间t， 如果满足下列条件，即为白噪音过程： （1） （2） （3） 白噪音过程实例：白噪音过程白噪音过程的均值与方差白噪音过程的自协方差白噪音过程的自相关系数图3.3 白噪音过程的自相关图对于白噪音过程，总有如下等式成立：以及白噪音过程中的观测值彼此互相独立，白噪音过程不能由其以前的信息来预测如果一个白噪音过程还满足正态分布的条件，即服从正态分布，这样的过程称为高斯白噪音过程例如：就是一个典型的样本为T的白噪音过程 自回归模型：变量对变量自身的滞后期项进行回归一阶自回归模型：记做AR(1)，表现为当期的随机变量对自身的滞后一期项和一个随机扰动项进行先行回归AR(1)模型可以写成：3.2一阶自回归模型:AR（1）对一阶自回归模型进行迭代根据等比数列求和公式，若：有：则：也可采用滞后算子运算法进行运算1）AR（1）模型的均值一阶自回归模型AR（1）的特征：根据白噪音均值为0的特性：根据上式，有则上式可变形为：可见：模型均值与AR(1)模型的截距项一一对应；没有截距项的模型，在其他假设不变的情况下，均值为0。
（2）AR（1）过程的方差一阶自回归模型AR（1）的特征：根据白噪音方差不变的特性：平稳序列的观测值表现出一种向其均值水平回复的特征，这种特征在金融时间序列分析中称“均值回复”平稳AR(1)过程的均值和方差保持不变，则 序列任意观测值落在某个特定区间的概率在所有时刻t均是恒定的，如围绕均值上下两个标准差的范围（对应90%的置信区间），即为示例：假设AR（1）过程的的形式为：理论上，序列的均值为：理论上，序列的方差为：图3.4 AR（1）模拟生成的序列图与相关统计量(a) 样本=30(b) 样本=1000图3.4 AR（1）模拟生成的序列图与相关统计量随着样本的增大，样本均值和方差与理论上的真实值会越来越接近比较不同样本数据对应的样本均值和方差可看出：只有30个观测值的序列均值和方差分别为1.302和0.2342=0.055，与真实值之间有明显的出入；对于1000个观测值的序列，其均值和方差分别是3.262和0.972=0.947，与理论真实值已经非常接近了3）AR（1）过程的自协方差与自相关函数由于白噪音过称不同期观测值之间相互独立， AR（1）过程的自协方差所以， ，而对于 ，其取值越靠近于1，则暗示 序列相邻观测值之间的相关性越强。
很明显，平稳AR（1）过程的自相关函数图应该是随着滞后期数的增加而呈现逐渐衰减的态势AR（1）过程的自相关函数为：实例应用 AR（1）过程：其特征根方程为：AR(1)模型示例滞后期数自相关系数 01.00 10.71 20.50 30.35 40.25 50.18 60.13 70.09 80.06 90.04 100.03 110.02 120.02 130.01 140.01 150.01 （4）一阶自回归系数 的影响下面利用实际例子进一步演示自回归系数 取值不同对自相关系数以及 序列动态走势的影响图3.5 AR（1）过程的自相关函数图 系数a越大，自相关系数衰减的越慢通货膨胀率、利率等宏观金融时间序列变量经常表现出较高的持久性；股票收益率等微观金融工具的收益率则很少表现出持久性不同a取值下AR(1)过程的图形不同a取值下AR(1)过程的图形不同a取值下AR(1)过程的图形不同a取值下AR(1)过程的图形二阶自回归模型，记做AR（2），其形式如下：3.3二阶自回归模型:AR(2)假设 为白噪音过程利用滞后算子将AR(2)写成：进行整理，得到滞后算子多项式 对应的特征方程为：定理：如果特征方程所有根 都落在单位圆内，则AR(2)过程为平稳过程。
假设AR(2)模型满足平稳性条件，则模型还可写为：可以证明滞后算子多项式满足下列形式：这样可以将AR(2)模型改写为如下形式：根据滞后算子特性 ，则有：最终，我们把AR(2)模型 是随机扰动项的函数：（1）AR（2）过程的均值一阶自回归模型AR（2）的特征：根据白噪音均值为0的特性：（2）AR（2）过程的方差、自协方差、自相关函数将上式带入AR（2）模型中，则有：根据均值的计算公式，有：对上式进行整理，即为：两侧同乘以 ，得到 两侧同时取期望，就得到AR(2)的自协方差关系式：根据自相关函数的定义，可以得到AR(2)模型的自相关函数的关系式：则有：由于自相关函数具有以下性质：可得自相关函数在前2期的解析表达式： 之后所有的自相关函数的解析表达式都可推导出来 实例应用 AR（2）过程：其逆特征根方程为：AR(2)模型示例在AR(2)过程里，AR(2)模型示例由于自相关函数具有以下性质：可得自相关函数在前2期的解析表达式： 之后所有的自相关函数的解析表达式都可推导出来 需要注意，对于AR（2）模型来说，随着滞后期j的增大，自相关函数（绝对值）不一定总是单调递减的！这一点与AR（1）模型不同，因为对于平稳AR（1）模型来说，自相关函数的绝对值一定是单调递减的。
为了说明这一点，现在考虑另外一个AR（2）模型： 图3.11读者思考，这个自相关函数图为什么会出现震荡式衰减形式？是什么因素决定了这种表现形式？如果给定一个AR（3）模型，如何绘制对应的自相互函数图呢？P阶自回归模型AR(p)过程的形式：3.4 p阶自回归模型AR（p）使用滞后算子，上式可写作为：其中a（L）为滞后算子多项式，定义为：AR(p)模型的基本形式对应的特征根方程：若特征根方程所有的根都落在单位圆内，则AR(p)为平稳的序列1）AR(p)过程的均值对上式两边取期望，则得到：从而求解出AR(p)过程的均值模型：（2）AR（p）过程的方差和自协方差由上式可将AR（p）过程改写为：在上式两边同乘以 并取期望，得到：故有利用平稳AR（p）过程的性质 ，上式中第二个等式就是：分析AR(p）自协方差公式可知，对于实际上给出了 个等式，用以刻画自协方差，自回归系数和白噪音过程的方差之间的关系1）如果自回归系数 和白噪音的方差 已知，那么它们可以用来解出AR（p）过程的自协方差 2）如果 已知，可求解出自回归系数 和方差（3）AR(p)过程的自相关函数（ACF）在AR(p)过程的自协方差公式两边除以 ，就得到于勒-沃克等式（Yule-Walker equations ）AR（p）模型的自回归函数会随p阶数及自回归系数 而有很大差异。
历年中国外汇储备（亿美元）截止2014年3月末，中国外汇储备超过39500亿美元AR(p)模型示例对国家外汇储备时间序列各期值取对数进行一阶差分，获得平稳时间序列。