《鲑鱼数量的变化问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《鲑鱼数量的变化问题（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 海洋中鱼的数量通常是按繁殖期的长短呈周期变化的。以太平洋里的鲑鱼为例，其生长繁殖过程大致是，成年的鲑鱼产下大量的卵，在卵成长为幼鱼和幼鱼长大的过程中，相当大的部分被成年的鱼吃掉，剩下来的还要被恶劣的环境淘汰一些，而成年的鱼在产卵后则活不了多久就会死掉。一 问题的提出试建立鲑鱼产卵期到来之前，其数量变化规律的数学模型。鲑鱼数量的变化问题二 生长特点1 呈周期性变化；2 在每个周期里，经过了从卵、幼鱼到成年鱼的变化过程。一般地，长期观察是呈离散变化，而在每个离散时间段里呈连续变化。如：树木的生长、冰箱温度的变化等，嵌入式模型嵌入式模型它把一个个短期内描述连续变化过程的微分方程，嵌入到一个长期的描
2、述离散变化规律的差分方程中，而那些描述短期演变过程的微分方程在定性上应该是相同的，只是在定量上参数与初始条件有所改变。三 符号的说明：第n个繁殖期（周期）开始时成年鲑鱼（ 鲑鱼）的数量，以条数计，n=1,2,；：在每个周期内，时刻t 幼鱼的数量；为了反映每个周期末和下个周期开始时 的突变性，引入下列记号：可以很小。在区间 内允许数量上的突变四 模型的假设1 成正比，比例系数为 ，表示每条鱼的产卵量；2 单位时间内 减少的比例与 成正比，比例系数为 ，表示鲑鱼吞食幼鱼的能力；3 成正比，比例系数为 ，表示在繁殖期末幼鱼存活长成鲑鱼的比例。五 模型建立 根据假设条件容易写出 （1）（2）（3）方程
3、（2）的解为（4） 将（1），（4）代入（3）式得（5）若记（6） 则方程（5）可写作（7） 差分方程（7）是将每周期内的微分方程（2）嵌入 （1）、（3）得到的。这种嵌入式模型的一般形式 可以表为（8）差分方程（7）无法求出的显式表达式，只能递推 求数值解。例如设（表示1个数量单位，比如条），第1代（ ） 鲑鱼吞食掉90%的幼鱼即，代入（4），（6）是可以算出若分别取，则由（6）式将代入（7）式递推计算，考察鲑鱼数量的 周期变化规律，结果见表。01.0001.0001.000110.69791.7391.88410.5001.1001.500120.69960.34880.369120.79
4、060.96110.7115130.69861.7192.36730.64021.1562.074140.69920.36140.152640.73290.88760.2625150.69881.7301.61150.67781.2652.151160.69910.35450.591960.71170.75620.2278170.69891.7242.27270.69121.4582.022180.69900.35810.182180.70370.55840.2882190.69891.7271.79690.69611.6982.226200.69900.35620.4308100.70070
5、.37440.1983211.7252.396220.35720.1443320.35680.4531231.7261.552331.7262.394240.35670.6526340.35680.1449251.7262.178351.7261.557260.35690.2167360.35680.6481271.7261.973371.7262.186280.35680.3147380.35680.2137291.7262.287391.7261.960300.35690.1771400.35680.3225311.7261.676按（7）式（b=2.3和不同的a）计算的由表可知，对于趋向
6、稳态值0.699，即初值的70%；对于交替地趋向两个稳态值0.3568 和1.726，对于则难以看出什么规律。六 平衡点及稳定性分析为了研究对于不同的，鲑鱼数量的变化 规律，我们利用差分方程求解的有关结果讨论（7） 的平衡点及稳定性。 方程（7）的平衡点满足（9） 注：也是方程（7）的平衡点，但容易验证它不 是稳定的，不再讨论，以后平衡点均指非零的。（9）的非零解为（10）平衡点稳定的条件是这里因为所以当，即时是稳定平 衡点，而当时不稳定。这个结果表明， 是否稳定只取决于与无关。而，注意到和的含义可知表示的是 鲑鱼从一个周期到下一周期增长关系的一个因素（增 长率还与 有关），正是这因素决定了
7、的稳定状 态情况。根据上述分析，当时， 稳定，且若由（10）可得，而当时不稳定这与前面的数值结果（见表）是一致的。 为了进一步研究（如 ） 时的变 化情况，应该考察方程（参考倍周期收敛的相关内 容） （11） 其中的具体形式由方程（7）给出。 首先用无量纲化方法简化方程，令（12）则方程化为（7）化为（13）（14） 显然，当时是方程（13）的稳定平衡点， 而时不稳定。下面讨论的情况。 考察方程 （15） 其中 由（13）给定。方程（15）的平衡点除 以外还有和，满足和（16）由（16）不难得到 （17） 于是是方程（18）的两个根。若记函数 （19） 则曲线和直线有3个交点，其横坐 标是，1
8、和（见图）。当时 用数值方法可以算出 （20）是方程（15）稳定平衡点的条件是O12经过比较精密的计算得到，当（21）时上述条件成立。这个结果表明，在条件（21）下方程（13）给出的 序列 是2倍周期稳定的，即子序列 和 当 时分别趋向于和 代回到变量，由（14）式可知条件（21）相 当于 （22） 所以当时是2倍周期稳定的，两个稳定值和可以从（由（12）式）（23）和（20）式算出。当时与表中结果一致。当以后应该研究的倍周期稳定的情况。若记是倍周期稳定的上限，有结 果指出时，当时的趋 势出现混沌现象。表中的相当于，所以 的变化没有什么规律性可言。 评注： 嵌入式模型适用于将各个周期内用微分方程描 述的、性质上相同的连续变化规律，嵌入到长期的 用差分方程描述的离散变化过程的问题。除了生物 的周期性繁殖现象外，再生资源的周期性收获，人 体对周期性注入药物的反应，周期性排放污物的环 境变化等都可以用这种模型研究。我们在这里遇到了序列的倍周期收敛现象 ，因为方程（13）的非线性程度更高， 所以，对平衡点收敛性分析更为困难。
