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1、工程应用数学工程应用数学 数学计算方法与软件的工程应用2 2本学期主要教学内容部分应用实例 矩阵分析（Chap2）、线性方程组（Chap3）、数值逼 近（Chap5）、非线性方程组 实验设计与数据处理 实验设计与分析（Chap7、8） 模型参数回归（Chap8） 神经网络（Chap8） 其他 模拟退火、遗传算法(Chap8) 微分方程组（Chap9、10） 参数估计工具软件：MATLABStatistica3 3数学模型 数学模型是系统某种特征本质的数学表达式 即用数学式子（如函数式、代数方程、微分方程、积分方程、 差分方程等）来描述（表达、模拟）所研究的客观对象或系统 在某一方面的存在规律。
2、 用模型描述实体的过程称为建模或模型化。 理想的数学模型必须满足以下两点: 可靠性：在允许的误差值围内，它能反映出该系统的有关特性 的内在联系。 适用性：它须易于数学处理和计算。4 4建立数学模型的一般方法建立模型的方法大致有两种： 实验归纳法 理论分析法 建立模型的一般步骤： 通过对系统的分析，根据问题的性质和精度的要求，作出合理性假设 、简化。抽象出系统的物理模型。 在此基础上确定输入、输出变量和模型参数，建立数学模型。 一般来说，在不降低精度的条件下,模型变量的数目越少越好。 检验和修正所得模型。手段是将模型计算结果与实验结果做对比. 模型含有无关或关系不大的变量； 模型遗漏了重要的有关
3、变量； 模型参数不准确； 数学模型的结构形式有错； 模型反映系统的精确度不够。 5 5数值计算在化学化工中的应用计算无处不在！计算无处不在！6 6模拟-实验-理论的关系由模拟所得到的结 果，再经科学实验 得到的实验值相互 比较，最后经过理 论的验证，便可以 得到一个真正完美 的结论。所以在近 代科学研究中，必 须以实验验证理论 ，以模拟辅助实验 ，三者并行，如此 便能达到相辅相成 的效果。7 7提高数学建模效率的方法建立模型编写算法分析结果建立模型调用算法分析结果低效率 高效率瓶颈重点重点8 8专有的商业软件 实质：数学模型和计算方法的有机集成 过程模拟：ASPEN PLUS、PRO/II、H
4、YSYS、gPROMS等 分子模拟：Gaussian、Cerius 2、Materials Studio、Insight II、DISCOVERY STUDIO、 SYBYL、HyperChem、CHEMOFFICE等 计算流体动力学：CFX、FLUENT、StarCD等 优势：技术成熟、系统稳定、资料丰富、技术交流方便。 缺陷：价格高，解决对象为已有的成熟的工程问题，缺少新 的研究课题的数学模型。对于科学研究领域，通过建模、编程解决新的模型问题 成为必要。9 9数值计算的工具 程序设计语言 BASIC/Visual BASIC(VB) PASCAl/Delphi C/C+(Visual C+
5、、C+ Builder) FORTRAN/Compac Visual Fortran 6.6(CVF) 数学软件包 Mathematica（数学演算） MathCAD Maple（符号计算） MATAB SAS、SPSS、STATISTICA （统计分析）执行效率高、有丰富的数值计算源程序或 库文件，如Numerical Recipes、IMSL 库以及网络资源NetLib。 编程能力要求高。算法齐全，计算、图形可视化和符号运算 功能强大，且简单易学、扩展性好，也支 持与其他高级语言混合编程。既是专业数 学软件，又是一种编程语言，编程效率高 ，且代码公开。内建丰富的函数和工具箱 。得到第三方公
6、司的开发支持1010MATALB在化学化工中的应用 数值计算 Alkis Constantinides, navid Mostoufi. Numerical Methods for Chemical Engineering with MATLAB Applications. Prentice Hall,1999 Michael B. Cutlip 1 0 2 -1 0 1 0 0 0; 0 1 -1 1 0 -1 0 1 0; 0 0 0 0 .5 .5 0 0 0; -1 -2 0 -1 -1 0 0 -2 0; 1 2 0 1 1 0 -2 4 1; 0 0 0 0 0 0 1 -1 -2
7、; 0 0 0 0 0 0 0 0 1;B=svd(C)B =6.3946 3.2680 2.7786 1.5579 0.8839 0.0000 0.0000 0.0000结果表明矩阵的秩为5，故此体系的独立反应数目为5。 若需要求构成1组独立反应的反应式，如何做？ 1919反应矩阵转置 CCOCO2O2H2OH2CH4C2H61-1100-11002-1010-22003-12-10000040-110-110050001/2-1100601-11/200007-10000-21080010-24-109000001-212020求解 对所有可能的独立反应组进行全范围搜索，然后判断其秩是 否
8、等于反应矩阵的秩，即可求得独立反应的构成。C=-1 -1 -1 0 0 0 -1 0 0; 1 0 2 -1 0 1 0 0 0; 0 1 -1 1 0 -1 0 1 0; 0 0 0 0 .5 .5 0 0 0; -1 -2 0 -1 -1 0 0 -2 0; 1 2 0 1 1 0 -2 4 1; 0 0 0 0 0 0 1 -1 -2; 0 0 0 0 0 0 0 0 1; A=C; a=rank(A); disp(sprintf(n 最高秩 = %i,a) disp(sprintf(n 可形成 rank = %i 的有下列几组独立反应方程式,a), for i=1:length(A)f
9、or j=i:length(A)B=A(i,:);A(j,:);A(k,:);A(l,:);A(m,:);b=rank(B);if b=adisp(sprintf( %i %i %i,i,j,k,l,m)else end end 2121作业 选择一个复杂反应体系，分析有多少个独立的反应数？并求 构成1组独立反应的反应式（方程式号码）。 作业格式要求： 问题说明，包括背景、要解决的问题 问题的分析，提出数学模型 计算机求解的方法、计算流程、源程序 结果分析与讨论 2222Ex2：线性方程组的应用 求解线性方程组的方法： 直接解法： Gauss消元法； 矩阵分解方法； Cholesky分解函数c
10、hol；A=LLT LU分解函数lu；A=LU 正交三角分解函数qr等。A=QR 迭代解法： Jacobi迭代法 Gause-Seidel迭代法 Successive Over-Relaxation (SOR)迭代法 特殊线性方程组： 稀疏线性方程组共轭梯度迭代法； 三对角方程组追赶法 2323MATLAB求解线性方程组方法 用矩阵左除操作符“”求解； x=Ab 用函数solve计算解析解； g = solve(eq1,eq2,eqn,var1,var2,varn) 其中eq1,eq2,eqn是方程组的n个方程；var1,var2,varn是方程的 变量列表。 通过矩阵求逆函数inv； x=i
11、nv(A)*b 矩阵分解方法； Cholesky分解函数chol； L=chol(A); y=Lb; x=Ly A=LL; Ly=b; Lx=y LU分解函数lu； L,U,P=lu(A); y=Lp*b; x=Uy LU=pA; Ly=pb; Ux=y 正交三角分解函数qr等； 迭代法和追赶法等须自行编制程序。 2424乙醇精馏过程的物料平衡 生产工业乙醇的二级精馏过程见下图。设过程处理量10000 kg/hr，组成 为80水，10醇和10有机物(重量)，精馏塔回流比为3。第一精馏塔 顶产物含醇60，而第二精馏塔顶产物含醇95。第一精馏塔底含进料 有机物的80，剩余的在第二塔底，两塔塔底物料
12、中都不含乙醇。求解 每股物料的量。 线性方程组问题 W表示水 A表示乙醇 R表示有机物料2525包含再沸器和冷凝器的第一蒸馏塔 蒸馏塔回流比塔底物料中都不含乙醇精馏塔回流比为3按照回流比3计算，W3/W5=4/32626包含再沸器和冷凝器的第二蒸馏塔 蒸馏塔回流比塔底物料中都不含乙醇精馏塔回流比为3按照回流比3计算，W9/W11=4/32727约束方程 在列方程时要考虑对角元素不为零。较方便的是从第一流股 开始，顺序进行，这里从3流股开始，13流股结束，矩阵表示 见下图。 此外还有三个独立的线性约束： 第一精馏塔顶产物含醇60第二精馏塔顶产物含醇95第一精馏塔底含进料有机物的802828矩阵形
13、式 在列方程时要 考虑对角元素 不为零。较方 便的是从第一 流股开始，顺 序进行，这里 从流股3开始， 流股13结束2929源程序数据输入% Set values for A and B % N=19; A=zeros(N,N); B=zeros(N,1); A(1,4)=-4/3; A(2,5)=-4/3; A(3,6)=-4/3; A(4,9)=-3; A(5,10)=-3; A(6,11)=-3; A(7,9)=1; A(9,10)=-2/3; A(9,11)=1; A(11,8)=1; A(12,14)=-4/3; A(13,15)=-4/3;A(14,18)=-3; A(15,19)
14、=-3; A(16,9)=-1; A(16,18)=1; A(17,11)=-1; A(18,19)=-5/95; A(19,10)=-1;for I=1:N A(I,I)=1;%B(I)=0; end;B(7)=8000; B(8)=800; B(10)=1000; B(11)=1000; 3030源程序求解与结果% direct solve %X=AB; % LU factor L,U,P=lu(A); Y=LP*B; X=UY; % result display disp(sprintf(%8.1f,X) ethanol1866.7 4000.0 800.0 1400.0 3000.0
15、600.0 7533.3 800.0 466.7 1000.0 200.0 210.5 4000.0 157.9 3000.0 414.0 200.0 52.6 1000.0 Stream35679111213W, kmol/h1866.71400.07533.3466.7210.5157.9414.052.6A, kmol/h4000.03000.0-1000.04000.03000.0-1000.0R, kmol/h800.0600.0800.0200.0-200.0-物料流股数据3131Ex3：数值逼近的应用插值拟合数值积分数值微分3232MATLAB的插值函数 一般调用函数interp1、interp2和interp3进行多项式插值计算 ； yi = interp1(x0, y0, xi, method) 其中：x0和y0分别为观察节点和观察值向量；xi表示待求函数值的节点；method指定插值的方法，取值为linear时表示进行线性插值 ，spline时表示进行三次样条插值，cubic时表示进行三次多项 式插值；输出yi表示在点xi处的多项式插值的值。 调用函数spline进行多项式样条插值计算； y =
