第9章 剪切与扭转

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1、9第9章 剪 切 与 扭 转 第9章 剪 切 与 扭 转 9.1 剪切的概念与实用计算 9.2 剪切胡克定律与剪应力双生定律9.3 扭转的概念 9.4 圆轴扭转时的应力与强度计算 9.5 圆轴扭转时的变形和刚度计算 思考题 习题 9第9章 剪 切 与 扭 转 9.1 剪切的概念与实用计算 9.1.1 剪切和挤压的概念剪切变形是工程实际中常见的一种基本变形，例如，铆钉 连接（图9-1）、钢丝钳的销钉（图9-2）、 轮毂与轴之间的键 连接（图9-3）等。 这些联接件的受力和变形可简化为如图9-4所示。其受力特点是：作用于构件两侧面上的合力是一对垂直 于杆轴线且大小相等、方向相反、作用线相距很近的力

2、。 其变 形特点是：杆件的左、右两部分沿两组平行力系交界面之间某 一截面m-M处发生相对错动。这种变形形式称为剪切变形， m- m截面称为剪切面。剪切面平行于作用力的作用线，介于构成剪切的二力之间。若构件中只有一个剪切面，则称为单剪， 如 前面所说的铆钉、键。若构件中有两个剪切面，则称为双剪， 如拖车挂钩中螺栓所受的剪切（图9-5）即是双剪的实例。 9第9章 剪 切 与 扭 转 图9-1 9第9章 剪 切 与 扭 转 图9-2 9第9章 剪 切 与 扭 转 图9-3 9第9章 剪 切 与 扭 转 图9-4 9第9章 剪 切 与 扭 转 图9-5 9第9章 剪 切 与 扭 转 9.1.2 剪切和

3、挤压的实用计算如图9-1所示的铆钉连接，钢板受拉力F作用后又将力传递到铆钉上，而使铆钉的左上侧面和右下侧面受力（图9-1(b)）。 这时，铆钉的上、两半部分将沿着外力的方向分别向右和向左移动（图9-1(c)）。当外力足够大时，将会使铆钉剪断，m-m为剪切面。在m-m处截开并取下部为分离体（见图9-6(a)）， 由静力平衡方程可知，m-m面上一定存在沿截面的内力Q，且Q=F。 内力Q称为剪力，它与截面相切。 9第9章 剪 切 与 扭 转 图9-6 9第9章 剪 切 与 扭 转 由于剪力Q在截面上的分布情况很复杂，故工程上通常采用剪力在实验基础上、近似而可供实用的计算方法，即假设它在截面上为均匀分

4、布（大量实践结果表明，这种实用计算能够满足工程实际的要求）。按此假设计算的平均剪应力称为名义 剪应力，用表示。其计算公式为 （9-1） 式中A 剪切面面积。为保证铆钉在工作中不被剪断，剪应力应不超过材料的 许用剪应力，即 (9-2) 9第9章 剪 切 与 扭 转 工程中常用材料的许用剪应力，可从有关规范中查得。一般情况下，与许用应力 之间有如下关系：塑性材料 （0.60.8）脆性材料 （0.81.0）如前所述，铆钉在受剪的同时，还承受着挤压，有可能发生挤压破坏。工程上挤压的强度计算也采用实用计算方法，即以实际挤压面的正投影面积Ajy（见图9-6(c)）中的阴影面积为计算挤压面积，用挤压力Pjy

5、(Pjy=F)（图96(a)）除以 挤压面积Ajy得挤压应力jy(图9-6(d)，即 （9-3） 9第9章 剪 切 与 扭 转 为保证铆钉不产生局部挤压塑性变形，必须满足挤压应力 不超过许用挤压应力jy，即 （9-4） 式中，jy是材料的许用挤压应力，它是通过挤压破坏实验并考虑一定的安全储备确定的, 可以从有关规范中查取。一 般情况下，jy与许用拉应力的关系为： jy（1.52.5） 塑性材料 脆性材料 jy（0.91.5） 9第9章 剪 切 与 扭 转 例9-1 图9-7(a)所示键连接机构中，已知键长为35mm， 其它尺寸如图所示。若键的许用剪应力=80MPa,许用挤压应力jy=150 M

6、Pa。设各联接件的材料相同，试求作用于手柄上的P力的容许值。解 （） 受力分析。因整个机构处于平衡状态，由平衡条件MO=0,可求得圆轴 所传递的扭转力偶矩为 M=P600 9第9章 剪 切 与 扭 转 以联接部分的键和轴一起作为研究对象（图9-7(b)）, 其上的主要作用力有轴上的扭转力偶矩M和手柄对键侧面的挤压 力Pc，以及手柄给轴的推力Pa，由平衡条件MO=0，可得 或 Pc是作用于键左侧面上半部分的挤压力。再由键（图9-7(c)）的平衡条件可知，作用于键右侧面下半部分的挤压力也为Pc。 9第9章 剪 切 与 扭 转 图9-79第9章 剪 切 与 扭 转 （） 考虑键的剪切强度条件确定P的

7、容许值。键的受剪 面积A=535mm2。受剪面上的剪力为Q=Pc=53.5P。由（9-2）式 可得 9第9章 剪 切 与 扭 转 （）考虑键的挤压强度条件确定的容许值键的挤压面为它的左侧面上半部分（或右侧面下半部分） ，其面积为Ajy=352.5mm2。由（9-4）式 可得 所以作用于手柄上的的容许值为 9第9章 剪 切 与 扭 转 9.2 剪切胡克定律与剪应力双生定律 在构件受剪部位中的某点K取一微小的正六面体，微体在剪应力作用下产生剪切变形，互相垂直的侧边所夹直角发生微小改变，如图9-8(a)所示。直角的改变量称为角应变或切应变，并用表示，单位为rad（弧度）。薄圆管的扭转试验表明（图9-

8、8(b）: 当剪应力不超过材料的剪切比例极限p时， 剪应力与切应变成正比， 即。 9第9章 剪 切 与 扭 转 图9-8 9第9章 剪 切 与 扭 转 如果引进比例系数G， 则 =G 此关系称为剪切胡克定理。比例系数G称为剪切弹性系数，其值随材料而异，并由试验测定。剪切弹性系数G的量纲与剪应力的量纲相同，在国际单位制中，其常用单位为GPa。钢材的剪切弹性系数G=8084GPa。 9第9章 剪 切 与 扭 转 图9-9 9第9章 剪 切 与 扭 转 由于我们所研究的受剪构件是平衡的，因此从受剪构件 中取出的K点（即正六面体）也应该是平衡的。图9-9是从受剪构件中取出的微体的受力情况，设微体的边长

9、分别为dx、dy和dz。这对大小相等、方向相反的剪力构成一力偶，其矩为dz d y d x。然而，由于微体处于平衡状态，因此，在微体的顶面和底面上，也必然存在剪应力，并构成一个矩为dzdxdy的力偶，上述力偶相平衡， 即 9第9章 剪 切 与 扭 转 由此得 = 上式表明：在微体的两个互相垂直截面上，垂直于截面交线（即微体棱边）的剪应力数值相等，其方向均指向或背离该交线。 此关系称为剪应力双生定理。 9第9章 剪 切 与 扭 转 9.3 扭 转 的 概 念 9.3.1 扭转的概念在日常生活及工程实际中，有很多承受扭转的构件。例如汽车转向轴（图9-10），当汽车转向时，驾驶员通过方向盘把力偶作用

10、在转向轴的上端，在转向轴的下端则受到来自转向器的阻力偶作用。当钳工攻螺纹时（图9-11），加在手柄上的两个等值反向的力组成力偶，作用于锥杆的上端，工件的反力偶作用在锥杆的下端。如图9-12所示，桥式起重机的传动轴两端， 在工作时受到一对力偶的作用。 9第9章 剪 切 与 扭 转 图9-10 9第9章 剪 切 与 扭 转 图9-11 9第9章 剪 切 与 扭 转 图9-12 9第9章 剪 切 与 扭 转 上述杆件的受力情况，可以简化为如图9-13 所示的计算简图。 由此可以看出，扭转杆件的受力特点是：杆件两端受到一对大小相等、转向相反、作用面与轴线垂直的力偶作用。 其变形特点是：杆的各横截面都绕

11、轴线发生相对转动。这种变形称 为扭转变形。以扭转变形为主的构件称为轴。 9第9章 剪 切 与 扭 转 图9-13 9第9章 剪 切 与 扭 转 9.3.2 扭矩 外力偶矩的计算研究圆轴扭转的强度和刚度问题时，首先要知道作用在轴上的外力偶矩的大小。在工程实际中，作用在轴上的外力偶矩 通常并不直接给出，而是已知轴所传递的功率和轴的转速。 从理论力学中知道，功率、转速和力偶矩之间的关系为： （9-6） 式中：M外力偶矩拒，单位为牛米（Nm），P轴传递的功率，单位为千瓦（Kw）n轴的转速，单位为转分（rmin） 9第9章 剪 切 与 扭 转 扭矩圆轴在外力偶矩的作用下，横截面上将产生内力，用截面 法来

12、研究。图9-14(a)所示圆轴AB，在两端受一对大小相等、 转向相反的外力偶矩M作用下产生扭转变形，并处于平衡状态。 用一假想截面沿m-m处将轴假想切成两段，取其中一段（如左段）为研究对象（图9-14(b)）。因为原来的轴是处于平衡状态的， 所以切开后的任意一段也应处于平衡状态。因此，在截面 m-m上必然存在一个内力偶矩,这个内力偶矩称为扭矩，用符号Mn表示。 9第9章 剪 切 与 扭 转 图9-14 9第9章 剪 切 与 扭 转 根据平衡条件，如果取右段为研究对象（图9-14(c）， 也得到同样的结果。但是，取截面左段与取截面右段为研究对象所求得的扭矩数值相等而转向相反（作用与反作用）。为了

13、使从左、右两段求得同一截面上的扭矩正负号相同， 通常对扭矩的正负号作如下规定:按右手螺旋法则， 以右手四指表示扭矩的转向，则大拇指的指向离开截面时的扭矩为正（图915(a)），大拇指指向截面时的扭矩为负（图9-15(b)）。 9第9章 剪 切 与 扭 转 图9-15 9第9章 剪 切 与 扭 转 9.3.3 扭矩图若圆轴上同时受几个外力偶作用时，则各段轴截面上的扭矩就不完全相等，这时必须分段来求。 为了确定最大扭矩及其所在截面的位置，通常是将扭矩随截面位置变化的规律用一图形表示出来，即以横坐标表示截面位置，以纵坐标表示扭矩 ， 这样的图形称为扭矩图。 例9-2 传动轴如图9-16所示。已知主动

14、轮A输入功率为PA=36 kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14 kW，轴的转速为n=300r/min。试画出传动轴的扭矩图。 9第9章 剪 切 与 扭 转 图9-16 9第9章 剪 切 与 扭 转 解 按式（9-6）算出作用于各轮上外力偶的力偶矩大小 9第9章 剪 切 与 扭 转 将传动轴分为BC、CA、AD三段，先用截面法求出各段的扭矩。在BC段内，以Mn1表示横截面1-1上的扭矩，并设扭矩的方向为正。 由平衡方程 即得 9第9章 剪 切 与 扭 转 式中，负号表示扭矩Mn1的实际方向与假设方向相反。可以看出，在BC段内各横截面上的扭矩均为Mn1。在CA段内，

15、设截面2-2的扭矩为Mn2，得 9第9章 剪 切 与 扭 转 式中，负号表示扭矩Mn2的实际方向与假设方向相反。在AD段内，扭矩Mn3由截面3-3的右段的平衡求得，即 以横坐标表示横截面的位置，纵坐标表示相应横截面上的扭矩，画出扭矩大小随截面位置变化的图线，即BD段的扭矩图如图9-6(e)所示。从图中可以看出，在CA段内有最大扭矩|Mn|max=700 Nm 。 9第9章 剪 切 与 扭 转 9.4 圆轴扭转时的应力与强度计算 9.4.1 圆轴扭转时横截面上的剪应力1 实验观察为了观察圆轴的扭转变形，在圆轴表面上画出许多间距很小的纵向线和垂直于杆轴线的圆周线，如图9-17(a)所示。在两端外力

16、偶矩作用下，使轴产生扭转变形，如图9-17(b)所示。 可以观察到下列现象：(1) 各圆周线均绕轴线相对旋转过一个角度，但形状、 大小及相邻两圆周线之间的距离均无变化。 9第9章 剪 切 与 扭 转 图9-179第9章 剪 切 与 扭 转 (2) 所有纵向线仍保持为直线，但都倾斜了一个微小角度，使圆轴表面的小矩形变为平行四边形。 根据上述现象，可得出关于圆轴扭转的基本假设：圆轴扭转变形后，轴的横截面仍保持为平面，形状和大小均不变，半径也保持为直线。这就是圆轴扭转时的平面假设。按照这一假设，在扭转变形中，圆轴的横截面就像刚性平面一样，绕轴线旋转了一个角度。 由此可见，横截面上只存在垂直于半径方向的剪应力。纵向线倾斜的角度表达了轴变形的剧烈程度，即为轴的切应变 。 9第9章 剪 切 与 扭 转