第2章 平面力系的简化 与平衡工程力学1第2章 平面力系的简化与平衡平面力系——作用在物体上各力的作用线都在同一平面内工程实例：屋架、吊车：平面结构承受平面力系P1P2FAx FAyFDDABDCP145AP2(a)B空间对称结构承受对称的外力，可简化为平面问题如汽车受力2第2章 平面力系的简化与平衡2.1 平面汇交力系 2.2 平面力偶系 2.3 平面一般力系 2.4 考虑摩擦时的平衡问题 2.5 静定与静不定的概念 物体系统的平衡本 章 目 录32.1 平面汇交力系2.1.1 平面汇交力系合成和平衡的几何法PP1P2平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系AP3P2P1A包括自重与 液体重力4O力多边形法则：力多边形法则：汇交力系中各力首尾相连，构成一个不封闭的折线Oabcd，称为不封闭的力多边形（力链）合力为力多边形的封闭边Od，方向从第一个力的起点指向最后一个力的终点力的可传传性合力大小与分力的次序无关OOacdbOO2.1 平面汇交力系 2.1.1 平面汇交力系合成和平衡的几何法1.合成的几何法5O力的可传传性OOO合力可以表示为：若力系为n个力，合力可以表示为：汇交力系与其合力 等效。
2.1 平面汇交力系 2.1.1 平面汇交力系合成和平衡的几何法 1.合成的几何法6平面汇汇交力系平衡的充要条件是合力为为零 力系中各力首尾相连，力多边形自行封闭OO为平衡力系则平衡条件的平衡条件的几何形式：几何形式：平衡的几何法O2.1 平面汇交力系2.1.1平面汇交力系合成和平衡的几何法7（4）确定未知力的大小：可量取长度，用比例尺换算也可 利用三角关系求得b30°60°例2-1 如图，P=10kN两杆自重不计求两杆的受力 ABCP30°60°OaP（3）画力多边边形：确定未知力方向：力多边边形中各力的方向为实际为实际 方向，与受力图图一致5）答案：由作用反作用公理，AB受拉力 5 kN；BC受压压力 8.66 kN （1）研究对象：销钉 B （2）画受力图； FBAFBC5kN销钉BBFBCFBAPCBF’BCFCBBAF’BAFAB选取比例尺；解：82.1.2 平面汇交力系合成和平衡的解析法合成的解析法合力 平面汇汇交力系 Oy yx因为 每个力 合力投影定理：2.1 平面汇交力系9已知合力在直角坐标轴的投影 Fx、Fy 时，可求力FR 大小和 方向合力的大小合力的作用点为力系的汇交点。
Fx 0 Fy 0 Fx 0 Fx 0 Fy 0，FRy0，所以合力指向第四象限，指向如图11平面汇汇交力系平衡的充要条件是：该该力系的合力等于零 平面汇交力系的平衡方程平衡的解析条件：力系中各力在x、y轴轴上 投影 的代数和为为零 有2个平衡方程，只能求解2个未知量2.1.2 平面汇交力系合成和平衡的解析法 平衡的解析法2.1 平面汇交力系12利用平衡方程，求解平衡问题的步骤为 ：1、选——选取研究对象应既受已知力，又受要求的力或与要求力相关的力2、画——画受力图标清几何关系)3、建——建立坐标系原点可任意，使坐标轴与较多的力平行（或垂直）4、列——列平衡方程 注意：不要列成左式等于右式的形式5、解——解平衡方程6、答——答案，必要时作出讨论或说明2.1.2 平面汇交力系合成和平衡的解析法平衡的解析法2.1 平面汇交力系13解：（3）建立坐标系：Axy（4）列平衡方程：（5）解得：FA= －22.4kN例2-3 刚架如图所示，受水平力作用， P=20kN，不计刚架自重，求A、D 处的约束反力4mBPACD8mxyPFD（1）研究对象：刚架（2）受力如图： FA cos+ P= 0FA sin＋ FD= 0FA 为负，表明其方向与图示相反。
FD= 10kN FD为正，表明其方向与图示相同8m4mABCDFAα14y xFBC＇FCBCBFBA＇BAFAB B30FBCFBAF1F2（3）建立坐标系：Bxy CABD3060P例2-4 已知如图，不计杆和滑轮重力及滑轮大小求二杆的受力4）列平衡方程：解：分析题意滑轮大小不计，可为点B1）研究对象：滑轮和销轴2）受力如图：－F1cos30 ＋FBC－F2sin30 =0FBA= －0.366PFBC为正，表明其方向与图相同， FBC＇与图相同，BC受压FBC= 1.366PFBA为负，表明其方向与图相反，FBA＇与图相反，AB受压5）解得：BF230FBCFBA30F1F1=F2=PF1sin30－F2cos30°－FBA=0152.2 平面力偶系 2.2.1平面力偶系的合成BAdF'1F1d1d2F2F'2F＝F3 －F4F2 d2＝F4 dm = Fd =（F3－F4）d F3F'3F4F'4F1d1＝F3 d= m1 + m2= F1d1－F2d2设同一平面内有两个力偶（F1，F'1）、（F2，F'2），力偶臂分别为d1、d2，力偶矩分别为 m1= F1d1 、m2=－F2d2 。
求它们的合成结果 dFF' BA16平面力偶系的合成结结果为为一合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和2.2.2 平面力偶系的平衡只有一个平衡方程，只能求解一个未知量平面力偶系平衡的必要与充分条件：所有各力偶矩的代数和等于零2.2 平面力偶系2.2.1平面力偶系的合成1745ABRAC（2） 受力如图1）研究对象：AB（3）列平衡方程：（5）由力偶的特点，A点反力RA=RB，方向如图4）解方程解AD RCAmlRA RBB例题2-5 已知如图：求A点和B点的约束力m 45ADl18例2-6 用多轴钻床在水平工件上钻孔时，每个钻头对工件施加一压力和一力偶，如图所示已知三个力偶矩分别为： m1＝m2＝10Nm，m3＝20Nm固定螺钉A、B的间距为l＝200mm 求两个螺钉所受的水平力 m3m1m2lAB m3m1m2Am3m1m2AB FBFA解： 研究对象：工件由力偶系的平衡条件： 结结果为为正，说说明图图示方向为为力的实际实际 方向FA、FB必组组成力偶与其它三个力偶平衡 从而解得：192.3 平面一般力系 2-3-1平面一般力系的简化OOO—简化中心F'n mn m3 F'3 F'2 m2 mOF3 F2 F1 Fn O平面一般力系平面汇交力系平移为原力系的主矢。
作用在O点，大小和方 向与简化中心O无关为原力系的主矩大小和方向一般与简化 中心O有关平移合成力合成力偶矩合成F'1 m1 平面力偶系20mO主矩的大小：Oyxα平面一般力系平面汇交力系力平面力偶系力偶矩建立坐标系xy主矢的大小：利用力和投影的关系，可以确定主矢的大小和方向2.3 平面一般力系2-3-1平面一般力系的简化21固定端约束约束反力的确定：按平面一般力系的简化，得到一个力和一个力偶为便于计算，固定端的 约束反力画成正交分力 和一个力偶 结构图ad简图bcFAxFAymAmAFA2.3 平面一般力系 2-3-1平面一般力系的简化22此时，简化结果与简化中心位置无关2.3.2 平面一般力系简化结果的分析 合力矩定理此时，简化结果与简化中心位置有关简化结果（2）（1）合力偶原力系力偶系其合力偶矩②③①④原力系汇交力系合力2.3 平面一般力系23mOOdOO’即：合力矢等于主矢；合力作用线在简化中心O那一侧取决于主矢、主矩方向；合力作用线到O点的距离由d 确定3)原力系合力OO'd2.3.2 平面一般力系简化结果的分析 合力矩定理力偶等效表示减去平 衡力系2.3 平面一般力系24合力矩定理平面一般力系的合力对于作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
原力系为平衡力系4）2.3.2 平面一般力系简化结果的分析 合力矩定理2.3 平面一般力系25求合力的大小：建立坐标系Axyxydxxqx解：合力的方向向下取微段dx，其上合力dFR =qxdx，方向向下在任意截面 x 处分布力合力求合力的作用线(利用合力矩定理)xC即：即dFR例2-7：水平梁AB长为l，受三角形分布载荷的作用，分布载荷的最大值为q(N/m），试求合力的大小及作用线的位置q（N/m）ABlFR26总结：分布力的合力（2）大小：等于载荷集度 q 乘以分布长度，即 ql1）方向：与分布力 q 相同3）作用线：通过分布长度的中点FRABlxCCDq（1）方向：与分布力相同2）大小：等于由分布载荷组成的几何图形的面积3）作用线：通过由分布载荷组成的几何图形的形心qlBAlq均布载荷的合力载荷集度为 q272.3.3平面一般力系的平衡条件平面一般力系平衡的充要条件：主矢，主矩即：平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零上式称为平面一般力系的平衡方程有独立三个方程，只能求解三个未知数为方便计算：为方便计算：2、矩心应取在两未知力的交点上。
1、坐标轴应当与尽可能多的未知力作用线相垂直28例2-8 水平梁长为4m，重P=10kN，作用在梁的中点C承受均布载荷q=6kN/m ，力偶矩M＝8kNm试求A、B处的约束力P 4m2mqmCBA45°解：B－8解方程得：研究对象：水平梁ABF FAxAxF FAyAyFByx注意应用合力投影定理与合力矩定理得出：（1）均布载荷的投影与对点之矩2）力偶的投影与力矩29ABDPFB45yx解得：FB＝28.28kN例：已知如图AB＝BD＝l，载荷 P＝10kN设梁和杆的自重不计，求铰链A的约束反力和杆BC所受的力C BF'CF'BP ADC45解：研究对象：ABD梁AFAx＋FBcos 45＝0FAy＋FBsin 45－P＝0FBsin 45l －P2 l ＝0llFAx ＝－20kN FAy＝－10kN (负号表明反力方向与图示相反)BFAxFAy由作用反作用公理，BC杆受压力 28.28kN30P ADBC45yxllAFAxFAyFCB45PDCl如果写出对A、 B两点的力矩方程和对x 轴的投影方程：如果写出对A、 D、 C三点的力矩方程：说明三个方 程相互独立说明三个方 程相互独立31二、平衡方程的其它形式二矩式：三矩式：x 轴不得垂直于A、B连线 。
A、B、C三点不共线这二组平衡方程也能满足力系平衡的必要和充分条件（证明略，见P49） 对于受平面任意力系作用的单个研究对象的平衡问题，只可以写出三个独立的平衡方程，求解三个未知量任何第四个方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的32PlbBAWQ2a≥0≥(2)当空载时，受力如图FB≥0≥0≤解：(1)当满载时，受力如图例2-10： 塔式起重机如图机架重力W，吊起的最大重物重力P，欲使起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平衡配重的重量Q≤≤因此，起重机不翻倒的条件：≥0为使起重机不绕点A翻倒，必须FB≥0FBFA为使起重机不绕点B翻倒，必须FA≥0332.4 考虑摩擦时的平衡问题摩擦按物体间相对运动状态滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦工程实际中，物体的接触面不会完全光滑，摩擦总会存在摩擦有利：刹车制动，皮带传动等有弊：零件的磨损，能量消耗等本教材只讲工程中常用的简单近似的摩擦理论本教材只讲工程中常用的简单近似的摩擦理论 摩擦干摩擦湿摩擦按物体间接触面状况静滚动摩擦动滚动摩擦342.4.1 基本概念 大小根据主动力的情况，用不同的计算方法计算两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相对滑动或相对滑动趋势时，彼此作用有阻碍相对滑动的阻力，即滑动摩擦力。
摩擦力：作用于相互接触处；方向与相对滑动的相对滑动趋势的方向相反；2.4 考虑摩擦时的平衡问题351、静摩擦力P FNGFs（1）P为零时，物体没有运动趋势，摩擦力Fs为零2）P 较小时，物体。