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1、综合评价方法及其应用综合评价方法及其应用一、什么是综合评价问题 历年竞赛题 （1）CUMCM1993-B:足球队排名问题； （2）CUMCM2001-B:公交车调度问题； （3）CUMCM2002-B:彩票中的数学问题； （4）CUMCM2004-D:公务员招聘问题； （5）CUMCM2005-A:长江水质的评价和预测问题； （6）CUMCM2005-C:雨量预报方法评价问题； （7）CUMCM2006-B:艾滋病疗法评价与预测问题； （8）CUMCM2007-C:手机“套餐”优惠几何问题； （9）CUMCM2008-B:高教学费标准探讨问题； （10）CUMCM2008-D:NBA赛程的分析
2、与评价问题； （11）CUMCM2009-D:会议筹备问题。1、综合评价的目的综合评价一般表现为以下几类问题： 。分类对所研究对象的全部个体进行分类 ，但不同于复合分组（重叠分组）； 。比较、排序（直接对全部评价单位排序，或 在分类基础上对各小类按优劣排序）； 。考察某一综合目标的整体实现程度（对某一 事物作出整体评价）。如小康目标的实现程度 、现代化的实现程度。当然必须有参考系。 构成综合评价问题的五个要素分别为:被评价对 象、评价指标、权重系数、综合评价模型和评价者。2、 构成综合评价问题的五个要素 2、 构成综合评价问题的五个要素 （2）评价指标评价指标是反映被评价对象(或系统)的运行(
3、或发展)状况的 基本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从 不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。 一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中 每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的 指标体系。 注意到:当各被评价对象和评价指标值都确定以后， 问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即 权重系数确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可 信度，甚至影响到最后决策的正确性。2、 构成综合评价问题的五个要素 （4）综合评价模型对于多指标（或多因素）的综合评价问题,就是要 通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合 成为一个整体的综合
4、评价指标，作为综合评价的依据， 从而得到相应的评价结果。（5）评价者评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人， 也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体 系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价 者有关。 2、 构成综合评价问题的五个要素 3、综合评价的一般步骤 1确定综合评价的目的 （分类？排序？实现程 度？） 2建立评价指标体系 3. 对指标数据做预处理 （1）使所有的指标都从同一角度说明总体，这就提 出了如何使指标一致化的问题； （2）所有的指标可以相加，这就提出了如何消除 指标之间不同计量单位（不同度量）对指标数值 大小的影响和不能加总（综合）的问题，即对指 标进行无量纲化
5、处理计算单项评价值。 4确定各个评价指标的权重 5求综合评价值将单项评价值综合而成。1. 评价指标类型的一致化 极大型指标:总是期望指标的取值越大越好；极小型指标:总是期望指标的取值越小越好；中间型指标:总是期望指标的取值既不要太大，也不要 太小为好，即取适当的中间值为最好;区间型指标:总是期望指标的取值最好是落在某一个确 定的区间内为最好。- 定性指标二、评价指标的规范化处理 1、评价指标类型的一致化 1.1 将极小型化为极大型 倒数法： 平移变换法 其中 1.2 将居中型化为极大型 对于居中型指标1.3 将区间型化为极大型1.4 定性指标的量化处理方法在实际中，很多问题都涉及到定性，或模糊
6、指 标的定量处理问题。诸如:教学质量、科研水平、工作政绩、人员素 质、各种满意度、信誉、态度、意识、观念、能 力等因素有关的政治、社会、人文等领域的问题 。 如何对有关问题给出定量分析呢？按国家的评价标准,评价因素一般分为五 个等级，如A，B，C，D，E。如何将其量化？若A-，B+，C-，D+等又如 何合理量化？根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化 方法是一种可行有效的方法。 假设有多个评价人对某项因素评价为A，B，C， D,E共5个等级: v1 ,v2 ,v3 ,v4,v5。譬如：评价人对某事件“满意度”的评价可分为 很满意，满意，较满意，不太满意，很不满意 将其5个等级依次对应为5，4，3
7、，2，1。这里为连续量化，取偏大型柯西分布和对数函 数作为隶属函数：+-+=-53,ln31 ,)(1 )(12xbxaxxxfba其中ba,ba为待定常数 根据这个规律， 对于任何一个评价值 ，都可给出一个合适 的量化值。据实际情况可构 造其他的隶属函数。 如取偏大型正态分布 。2. 评价指标的无量纲化 二、评价指标的规范化处理 如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价 过程中就会出“大数吃小数”的错误结果，从而导致最后得到 错误的评价结论。 无量纲化处理又称为指标数据的标准化,或规范化处理。常用方法:标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。 2. 评价指标的无量纲化 2. 评价指标
8、的无量纲化 问题:如何来构造合适的综合评价模型？ 三、综合评价模型的建立方法线性加权综合法的适用条件:各评价指标之间 相互独立。对于不完全独立的情况采用该方法，其结果将 导致各指标间信息的重复，使得评价结果不能客观 地反映实际。三、综合评价的数学模型 1. 线性加权综合法 三、综合评价模型的建立方法线性加权综合法的特点：（1）该方法能使得各评价指标间作用得到线性 补偿，保证综合评价指标的公平性；（2）该方法中权重系数的对评价结果的影响明 显，即权重较大指标值对综合指标作用较大；（3）当权重系数预先给定时，该方法使评价结 果对于各备选方案之间的差异表现不敏感；（4）该方法计算简便，可操作性强，便
9、于推广 使用。1. 线性加权综合法 2. 非线性加权综合法 主要特点: （1）对数据要求较高，指标数值不能为0、负数 （2） 乘除法容易拉开评价档次，对较小数值的 变动更敏感。 适用条件： -各指标间有较强关联性 。三、综合评价模型的建立方法3. 逼近理想点（TOPSIS）方法 4、模糊综合评价法四、层次分析模型背 景 日常工作、生活中的决策问题 涉及经济、社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化 Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) AHP一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方
10、法分解建立 确定计算判断实际问题层次结构多个因素诸因素的相对重要性权向量综合决策一. 层次分析法的基本步骤设x1,x2,xn为对应各因素的决策变量。其线性组合：y=w1x2+w2x2+ +wnxn 是综合评判函数。w1,w2, wn是权重系数，其满足： wi0 ,目标层O(选择旅游地)P2 黄山P1 桂林P3 北戴河准则层方案层C3 居住C1 景色C2 费用C4 饮食C5 旅途例. 选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择. 将决策问题分为：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示。 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对
11、每一准则的权重。 （1）成对比较从 x1,x2,xn中任取xi与xj比较它们对于y贡献（重要程 度）的大小，按照以下标度给xi/xj赋值： xi/xj1，认为“xi与xj重要程度相同”xi/xj3，认为“xi比xj重要程度略大”xi/xj5，认为“xi比xj重要程度大”xi/xj7，认为“xi比xj重要程度大很多”xi/xj9，认为“xi比xj重要程度绝对大”当比值为2，4，6，8 时认为介于前后中间状态。 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个A成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1, , Cn对O的权向量选 择 旅 游 地C3 居住C1 景色C2 费用C4 饮食C5 旅途O(选择旅游地)成对
12、比较的不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况成对比较阵和权向量成对比较完全一致的情况满足 的正互反阵A称一致阵，如 A的秩为1，A的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于n 的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量w ，即一致阵 性质成对比较阵和权向量一致性检验对A确定不一致的允许范围定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51n1 234567891110为衡量C
13、I 的大小，引入随机一致性指标 RI随机模 拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。定义一致性比率 CR = CI/RI 当CR a=1,1/2,4,3,3;2,1,7,5,5;1/4,1/7,1,1/2,1/3;1/3,1/5,2, 1,1;1/3,1/5,3,1,1 a = 1.0000 0.5000 4.0000 3.0000 3.0000 2.0000 1.0000 7.0000 5.0000 5.0000 0.2500 0.1429 1.0000 0.5000 0.3333 0.3333 0.2000 2.0000 1.0000 1.0000 0.3333 0.2000 3.0
14、000 1.0000 1.0000目标层O(选择旅游地)P2 黄山P1 桂林P3 北戴河准则层方案层C3 居住C1 景色C2 费用C4 饮食C5 旅途例. 选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.w w =(=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110) )组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量方案层对C1(景色)的成对比较阵方案层对C2(费用)的成对比较阵CnBn最大特征根 1 2 n 权向量 w1(3) w2(3) wn(3) 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。（2）
15、考虑第3层对第2层由19尺度得权向量矩阵目标层O(选择旅游地)P2 黄山P1 桂林P3 北戴河准则层方案层C3 居住C1 景色C2 费用C4 饮食C5 旅途例. 选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.w w =(=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110) )（3）组合权向量（4）组合一致性检验层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标 准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。 2）构造成对比较阵 用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。 3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。 4）计算组合权向量（作组合一致性检验*
