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1、 - 1 -九年级数学第九年级数学第 2323 章一元二次方程复习讲义章一元二次方程复习讲义一、一元二次方程的定义一、一元二次方程的定义 方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的整式的方程 叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a0）其中二次项 系数是 a，一次项系数是 b，常数项是 c例 1求方程2x2+3=22x-4 的二次项系数，一次项系数及常数项的积例 2若关于 x 的方程（m+3）27mx+（m-5）x+5=0 是一元二次方程，试求 m 的值，并计算这个方程的各项系数之和例 3若关于 x 的方程（k2-4）x2+1k x+5=0 是一元二
2、次方程，求 k 的取值范围例 4若 是方程 x2-5x+1=0 的一个根，求 2+21 的值1关于x的一元二次方程225250xxpp的一个根为 1，则实数p的值是（ ）A4B0或2C1D12一个三角形的两边长为 3 和 6，第三边的边长是方程(2)(4)0xx的根，则这个三角形的周长是（ ） 1111 或 131311 和 13 3如图，在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分）， 余下的部分种上草坪要使草坪的面积为2540m，求道路的宽（部分参考数据：2321024，2522704，2482304）二、一元二次方程的一般解法二、一元二次方程的一般解法 基本方
3、法有：（1）配方法； （2）公式法； （3） 因式分解法。 联系： 降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次公式法是由配方法推导而得到配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次 方程 区别： 配方法要先配方，再开方求根公式法直接利用公式求根因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为 0，再分别使各一 次因式等于 0 例 1、用三种方法解下列一元二次方程1、x2 +8x+12=0 2、3x2-3x-6=0- 2 -用适当的方法解一元二次方程1、x2-2x-2=0 2、2x2+1=23x 3、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3） 4、4x2-
4、4x+1=x2+6x+95、（x-1）2-2（x2-1）=0 注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方 法，最后考虑用公式法法，最后考虑用公式法 三、判定一元二次方程的根的情况？三、判定一元二次方程的根的情况？一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式是=b2-4ac，1=b2-4ac0一元二次方程有两个不相等的实根； 2=b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；3=b2-4ac0 Bk0 的解集是_ 10已知关于 x 的方程 x2+3x+k2=0 的一个根是-1，则 k=
5、_11若 x=2-10，则 x2-4x+8=_12若（m+1）(2) 1m mx+2mx-1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是_ 13若 a+b+c=0，且 a0，则一元二次方程 ax2+bx+c=0 必有一个定根，它是 _ 14若矩形的长是 6cm，宽为 3cm，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方 形的边长是_ 15若两个连续偶数的积是 224，则这两个数的和是_ 三、计算题（每题三、计算题（每题 9 9 分，共分，共 1818 分）分） 16按要求解方程：（1）4x2-3x-1=0（用配方法）； （2）5x2-5x-6=0（精确到01）17用适当的方法解方程： （1）（
6、2x-1）2-7=3（x+1）； （2）（2x+1）（x-4）=5；（3）（x2-3）2-3（3-x2）+2=018若方程 x2-2x+3（2-3）=0 的两根是 a 和 b（ab），方程 x-4=0 的正根是c，试判断以 a、b、c 为边的三角形是否存在若存在，求出它的面积；若不存 在，说明理由- 9 -19已知关于 x 的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0 的两根之和为-1，两根之差为 1，其中 a，b，c 是ABC 的三边长（1）求方程的根；（2）试判断ABC 的形状20某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是 500 元，销售价为 625 元，经市 场预测，该产品销售价第一个月
7、将降低 20%，第二个月比第一个月提高 6%，为了 使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？21李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程 11公里， 应收 29.10 元”出租车司机说：“请付 29.10 元”该城市的出租车收费标准 按下表计算，请求出起步价 N（N6 价格（元）N22 N25 N【中考真题】22.（2008 广州）方程(2)0x x的根是（ ）A 2x B 0x C 120,2xx D 120,2xx23.（2008 襄樊）某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81 ，则平均每次降价（ ）A10B19C9.5D2024
8、.（2008 威海）关于x的一元二次方程220xmxm的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 25（2008 四川省资阳）已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)0 的根的情况是（ ）A没有实数根B可能有且只有一个实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根26（200 年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）关于x的一元二次方程022mmxx的一个根为 1，则方程的另一根为 .27.（2008 江苏省淮安市）小华在解一元二次方程 x2-4x=0 时只得出一个根是 x=4,则被他漏掉的一个根是 x=_
9、28(2008 东莞市)在长为 10cm，宽为 8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的 80，求所截去小正方形的边长。- 10 -29(2008 年湘潭)阅读材料：如果1x，2x是一元二次方程20axbxc的两根，那么有1212,bcxxx xaa . 这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题:设12,xx是方程2630xx的两根，求22 12xx的值 .解法可以这样：126,xx 123,x x 则2222 12112()2xxxxx x2( 6)2( 3)42 . 请你根据以上解法解答下题：已知12,xx是方程2420
10、xx的两根，求：（1）1211 xx的值；（2）2 12()xx的值.- 11 -顶尖教育一元二次方程单元测试卷顶尖教育一元二次方程单元测试卷 （考试时间：（考试时间：120120 分，满分：分，满分： 150150 分）分） 姓名 成绩评定 一、选一选（每小题一、选一选（每小题 3 3 分，共分，共 3636 分）分） 1方程 x2+4x=2 的正根为（ ）A2- B2+ C-2- D-2+66662已知关于 x 的一元二次方程的两个根是 1 和-2，则这个方程是（ ）A. B. C. D.022 xx022 xx0122 xx0122 xx3.某商品两次价格上调后，单价价格从 4.05 元
11、变为 5 元,则平均每次调价的百分率 约为（ ） A9% B10% C11% D12%4.若使分式的值为零，则 x 的取值为（ ）13222 xxxA1 或-1 B.-3 或 1 C.-3 D.-3 或 15将方程 3（2x21）=（x+）（x）+3x+5 化成一般形式后，其二次项系33 数，一次项系数，常数项分别为。（ ）A5，3，5 B5，3，5 C7，2 D8，6，136某商店卖出 A、B 两种价格不同的商品，商品 A 连续两次提价 20%，同时商品 B 连续两次降价 20%，结果都以 a 元出售，则两种商品的原价分别是（ ）A.（1+20%）2；a（120%）2 B；22;(120%)
12、(1 20%)aa ; a（120%）22 22. (120%) ;.(1 20%)(120%)aaC aD7已知一个三角形的两边长是方程的根，则第三边长 y 的取值范围是1582 xx（ ） Ay-2 且 a0 点拨：不可忘记 a0102 点拨：把-1 代入方程：（-1）2+3（-1）+k2=0，则 k2=2，所以 k=21114 点拨：由 x=2-10，得 x-2=-10两边同时平方，得（x-2）2=10，即x2-4x+4=10， 所以 x2-4x+8=14注意整体代入思想的运用12-3 或 1 点拨：由(2) 12,10.m mm 解得 m=-3 或 m=1131 点拨：由 a+b+c=
13、0，得 b=-（a+c），原方程可化为 ax-（a+c）x+c=0，解得 x1=1，x2=c a1432cm 点拨：设正方形的边长为 xcm，则 x2=63，解之得 x=32，由于边长不能为负，故 x=-32舍去，故正方形的边长为 32cm1530 或-30 点拨：设其中的一个偶数为 x，则 x（x+2）=224解得 x1=14，x2=- 16，则另一个偶数为 16，-14这两数的和是 30 或-30 三、 16解：（1）4x2-3x-1=0，称 ，得 4x2-3x=1，二次项系数化为 1，得 x2-3 4x=1 4，配方，得 x2-3 4x+（3 8）2=1 4+（3 8）2，（x-3 8）
14、2=25 64，x-3 8=5 8，x=3 85 8，所以 x1=3 8+5 8=1，x2=3 8-5 8=1 4（2）5x2-5x-6=0- 15 -原方程可化为（5x+2）（5x-3）=0，5+2=0 或5-3=0，所以 x1=2 5 5=0.9，x2=3 5 51.3点拨：不要急于下手，一定要审清题，按要求解题 17解：（1）（2x-1）2-7=3（x+1）整理，得 4x2-7x-9=0，因为 a=4，b=-7，c=-9所以 x=2( 7)( 7)4 4 ( 9)7193 2 48 即 x1=7193 8，x2=7193 8（2）（2x+1）（x-4）=5，整理，得 2x2-7x-9=0，（x+1）（2x-9）=0，即 x+1=0 或 2x-9=0，所以 x1=-1，
