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1、用心 爱心 专心y2xBA1O上海市上海市 2010 届高三数学专题教案：届高三数学专题教案：函数的周期性一、知识梳理1、若 T 为非零常数，对于定义域内的任一 x，)()(xfTxf恒成立 则 f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。2、如果函数)(xfy 对于一切,Rx都有 )(axf()f xb，那么)(xfy 周期为Tab 二、例题例 1、若函数)(xf在 R 上是奇函数，且在01，上是增函数，且)()2(xfxf 则)(xf关于 对称；)(xf的周期为 ；时时时时时时10x)(xf=x2，则)(log1821f 。例 2、 （1）已知函数)(xfy 对于一切,Rx都有1(2
2、),( )f xf x 求)(xfy 的一个 周期。（2）设函数)(xfy 是最小正周期为2的偶函数，它在区间 1,0上的图像为如图所示的线段AB，求在区间2,1 上时( )f x的表达式例 3、设)(xf是定义在),(上，以 2 为周期的周期函数，且)(xf为偶函数，在区间2，3上，)(xf=4)3(22x,则时时2 , 0x求)(xf的表达式。用心 爱心 专心例 4已知函数)(xf的定义域为R，且满足1( )(1)1( )f xf xf x （1）试证明函数 2 是)(xf的一个周期；（2）当0,1)( )x,f(x-1xf x时，求）在，0）上的表达式（3）对（2）中的函数(x)ax10
3、0af有个根，求的取值范围。例 5、已知函数)(xfy 的图像关于直线 x=1 及 x=4 都对称 （1） 、求证：)(xfy 是周期函数，并求出周期（2） 、把（1）的结论推广到一般结论（不必证明）练习：1、函数)(xf对任意Rx，有0)()(xfxf，) 1() 1(xfxf，求(2008)f2设函数)(xf在R上满足)2()2(xfxf，)7()7(xfxf，且在闭区间7,0上，只有0)3() 1 ( ff （1）试判断函数)(xf的奇偶性；（2）试求方程0)(xf在闭区间2005,2005上的根的个数，并证明你的结论3设)(xf是定义在R上的偶函数，其图像关于直线1x对称，对任意21,
4、0,21xx都有)()()(2121xfxfxxf（1）设2) 1 (f，求)21(f，)41(f；（2）证明)(xf是周期函数P58 第 1、2、4用心 爱心 专心作业：P62 第 4 题，P64 第 1、2 题反函数一、知识梳理1.反函数定义：若函数y=f（x）（xA）的值域为C，由这个函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到x=（y）.如果对于y在C中的任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数.这样的函数x=（y）（yC）叫做函数y=f（x）（xA）的反函数，记作x=f1（y）.在函数x=f1（y）中，y表示自变量，
5、x表示函数.习惯上，我们一般用x表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x=f1（y）中的字母x、y，把它改写成y=f1（x）.2.原函数与反函数的关系：（1）、几何关系：互为反函数的两个函数y=f（x）与y=f1（x）在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x对称. （2）、代数关系：原函数的自变量（定义域）为反函数的函数值（值域）3.求反函数的步骤：（1）解关于x的方程y=f（x），得到x=f1（y）.（2）把第一步得到的式子中的x、y对换位置，得到y=f1（x）.（3）求出并说明反函数的定义域即函数y=f（x）的值域. 4常用结论：11(1). ( ) ( )f fxff xx（2）如果
6、y=f（x）是奇函数，那么y=f1（x）也是奇函数，反之亦然。（3）y=f（x）与y=f1（x）有相同的单调性。（4）在定义域上是单调的函数一定有反函数，反之不然。二、例题:【例 1】、求下列函数的反函数1.y=11 x（x1） 2. y=log2（x+1）+1（x0）3 f（x）=12 x（x21） 4、f（x）=x2（x（，2）用心 爱心 专心【例 2】 求函数f（x）= ) 1(1),1(12xxxx的反函数.【例 3】.若函数f（x）=2xx，求f1（31）【例 4】若函数yaxax 11（xa1，xR R）的图象关于直线yx对称，求a的值.【例 5】.已知函数f（x）=2（2111
7、xa）（a0，且a1）.（1）求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）；（2）判定f1（x）的奇偶性；（3）解不等式f1（x）1.用心 爱心 专心xy12431( )yfxO图 1练习、1.函数y=1x+1（x1）的反函数是A.y=x22x+2（x1）B.y=x22x+2（x1）C.y=x22x（x1）D.y=x22x（x1）2.记函数y=1+3x的反函数为y=g（x），则g（10）等于A.2 B.2 C.3 D.13、函数y=e2x（xR R）的反函数为A.y=2lnx（x0） B.y=ln（2x）（x0）C.y=21lnx（x0）D.y=21ln（2x）（x0）4.函数y=x22ax3 在
8、区间1，2上存在反函数的充要条件是A.a（，1B.a2，+）C.a1，2D.a（，12，+）5函数( )yf x的反函数1( )yfx的图像与y轴交于点)2,0(P（如图 1 所示） ，则方程0)(xf在4,1 上的根x（ ） (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 16.已知函数y=log2x的反函数是y=f1（x），则函数y=f1（1x）的图象是ABCD2222x y OOOOx y y x y x -1-17.若点（2，41）既在函数y2axb的图象上，又在它的反函数的图象上，则a=_，b=_.8.已知函数y=f（x）是奇函数，当x0 时，f（x）=3x1，设f（x）的反函数是用心 爱心 专心y=g（x），则g（8）=_.9.已知函数f（x）=a+bx1（b0，b1）的图象经过点（1，3），函数f1（x+a）（a0）的图象经过点（4，2），试求函数f1（x）的表达式.10.已知函数f（x）=（11 xx）2（x1）.（1）求f（x）的反函数f1（x）；（2）判定f1（x）在其定义域内的单调性；（3）若不等式（1x）f1（x）a（ax）对x161，41恒成立，求实数a的取值范围.
