数模培训椅子问题

1.3 数学建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模 型 假 设通常 ~ 三只脚着地放稳 ~ 四只脚着地• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形;• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面;• 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来• 椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADC OD´C ´B ´A ´用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置• 四只脚着地距离是的函数 四个距离( 四只脚)A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD 绕O点旋转正方形 对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f() , g()是连续函数对任意, f(), g() 至少一个为0数学 问题已知： f() , g()是连续函数 ;对任意， f() • g()=0 ;且 g(0)=0， f(0) > 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。

由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.评注和思考建模的关键 ~假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子和 f(), g()的确定1.3.2 商人们怎样安全过河问题(智力游戏)   3名商人   3名随从随从们密约, 在河的任一 岸, 一旦随从的人数比商 人多, 就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定 .商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk, yk=0,1,2,3;k=1,2, sk=(xk , yk)~过程的状态S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}S ~ 允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk , vk)~决策D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合uk, vk=0,1,2;k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k~状态转移律求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按 转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).多步决策 问题模型求解xy3322110• 穷举法 ~ 编程上机 • 图解法 状态s=(x,y) ~ 16个格点~ 10个 点允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.s1sn+1d1, ，d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况d1d11允许状态S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3;x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}背景年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况中国人口增长概况年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律控制人口过快增长1.3.3 如何预报人口的增长指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)常用的计算公式x(t) ~时刻t的人口基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数今年人口 x0, 年增长率 rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合• 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代• 可用于短期人口增长预测• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律• 不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线, x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm• 利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 199031.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2557, xm=392.1模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4 (百万)模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2490, xm=434.0x(2010)=306.0。