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1、数值分析前面介绍的 n+1个节点的 Newton -Cotes求积公式，其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于 构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式 的精度。 n是偶数时，代数精度为n+1， n是奇数时， 代数精度为n 。我们知道 n+1个节点的插值型求积公式的代数精 确度不低于n 。设想：能不能在区间a,b上适当选择 n+1个节点 x 0x1,x2,xn ,使插值求积公式的代数精 度高于n？答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度 最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。第四节 高斯(Gauss)求积公式数值分析数值分析考虑更一般形式的数值积分问题定义：若求积
2、公式 对一切不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p)=0;而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的代数精度为m.一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法数值分析数值分析 定理1：设节点x0, x1,xna,b，则求积公式的代数精度最高为2n+1次。分别取 f(x)=1, x，x2，.xr 代入公式，并让其成为等式，得：A0 + A1 + + An =ab1dx.= b-a x0 A0 + x1 A1+ +xn An =abxdx.= （b2-a 2)/2x0 rA0 + x1 rA1+ +xn rAn =abxr dxr =(br+1-a r+1)(r+1) 数值分析数值分析
3、事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2.(x- xn)2 代入求积公式,这里 x0, x1,xn是节点，有左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为2n+1次。 证毕. 上式共有 r +1个 等式，2n+2个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数,即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1. 数值分析数值分析定义: 使求积公式达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式 。 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数.因为Guass求
4、积公式也是插值型求积公式,故有 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d 满足： n d 2n+1。数值分析数值分析例：选择系数与节点，使求积公式（1）成为Gauss公式。 解：n=1, 由定义，若求积公式具有3次代数精度，则其是Gauss公式。为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并让其成为等式，得 c1 + c2=2c1 x1+ c2 x2=0c1 x12+ c2 x22 =2/3c1 x13+ c2 x23 =0求解得：所求Gauss公式为：(1) 用待定系数法构造高斯求积公式数值分析数值分析设Pn(x)，n=0,1,2,为正交多项式序列， Pn(x) 具有如
5、下性质： 1）对每一个n ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1, 2）(正交性)3）对任意一个次数n-1的多项式P(x)，有4）Pn(x)在(a,b)内有n个互异零点。（2）利用正交多项式构造高斯求积公式数值分析数值分析 定理2 设x0,x1, ,xn 是n+1次正交多项式Pn+1(x)的n+1个零点,则插值型求积公式是Guass型求积公式。证明：只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对 任意一个次数2n+1的多项式求积公式都精确成立。设 f(x)为任意一个次数2n+1的多项式，则有f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足 f(xk)=r(xk) 这里， Pn+1(x)是 n
6、+1次正交多项式， q(x)、r(x)均是 次数n的多项式。数值分析数值分析由性质3）及(4)式，有由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低 于n，故有即对 f(x)为任意一个次数2n+1的多项式求积公式都 精确成立。 证毕数值分析数值分析利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：代入积分式因此，求积系数为数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析常用的高斯求积公式 1.Gauss - Legendre 求积公式(1)其中高斯点为Legendre多项式的零点 Guass点xk, Guass系数Ak都有表可以查询.数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析一般
7、区间的Gauss - Legendre 求积公式如果积分区间是a,b，用线性变换这样就可以用Gauss - Legendre求积公式计算一 般区间的积分.将积分区间从a,b变成-1,1,由定积分的换元积分法有数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析例 利用高斯求积公式计算解: 令x=1/2 (1+t), 则用高斯-Legendre求积公式计算.取n=4积分精确值为I=ln2=0.69314718由此可见，高斯公式精确度是很高的.数值分析数值分析例:分别用不同方法计算如下积分,并做比较各种做法比较如下： 1、用Newton-Cotes公式 当n=1时，即用
8、梯形公式，I0.9270354 当n=2时, 即用Simpson公式,I 0.9461359 当n=3时, I 0.9461090 当n=4时, I 0.9460830 当n=5时, I 0.9460830I准=0.9460831数值分析数值分析2:用复化梯形公式令h=1/8=0.1253：用复化辛卜生公式令h=1/8=0.125I准=0.9460831数值分析数值分析4、用Romberg公式 K Tn Sn Cn Rn 0 0.9207355 1 0.9397933 0.9461459 2 0.9445135 0.9460869 0.9400830 3 0.9456906 0.9460833
9、 0.9460831 0.9460831I准=0.9460831数值分析数值分析5、用Gauss公式解：令x=(t+1)/2,I准=0.9460831（2）用3个节点的Gauss公式（1）用2个节点的Gauss公式数值分析数值分析 算法比较n此例题的精确值为0.9460831.n由例题的各种算法可知：n对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效 数字，当n=2时有3位有效数字，当n=5时有7 位有效数字。n对复化梯形公式有2位有效数字，对复化辛卜 生公式有6位有效数字。n用复合梯形公式，对积分区间0，1二分了11 次用2049个函数值，才可得到7位准确数字。n用Romberg公式对
10、区间二分3次，用了9个函 数值，得到同样的结果。n用Gauss公式仅用了3个函数值，就得到结果 。数值分析数值分析2.Gauss-Chebyshev公式常用的高斯求积公式数值分析数值分析 3.Gauss-Laguerre公式数值分析数值分析4.Gauss-Hermite公式数值分析数值分析 二、高斯型求积公式的截断误差和稳定性分析数值分析数值分析 已知Hermite插值误差是因为对2n+1次多项式求积公式准确成立，即代入上式即有数值分析数值分析以下将证明高斯形求积公式的求积系数恒正数值分析数值分析数值分析数值分析将积分区间a , b n等分，在每个小子区间上使用一个节点数较少的Gauss型求积
11、公式,然后把它们加起来，就得到整个区间上Gauss型求积公式的复化形式。 复化Gauss求积公式的基本思想：下面用Gauss-Legender求积公式推导复化 Gauss型求积公式.将积分区间a , b n等分，三、复化Gauss求积公式数值分析数值分析数值分析数值分析例如,用2点的Gauss-Legender求积公式复合,由表9-4,取n=1,得Aj =1,xj=0.5773502692代入到上式中,得2点的复化Gauss-Legender求积公式再将上式应用Gauss-Legender求积公式就得 到了复化Gauss型求积公式.数值分析数值分析数值分析二版习题 P276-11(1)，16，三版习题 P250-11(1)，16，
