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1、 人寿保险趸缴纯保费人寿保险精算现值1中英文单词对照 趸缴纯保费 精算现时值 死亡即刻赔付保险 死亡年末赔付保险 Net single premium Actuarial present value Insurance payable at the moment of death Insurance payable at the end of the year of death2 定期人寿保险 终身人寿保险 两全保险 生存保险 定额受益保险 变额受益保险 Term life insurance Whole life insurance Endowment insurance Pure endo
2、wment insurance Level benefit insurance Varying benefit insurance3引言 本章主要讨论各种人寿保险趸缴纯保 费的计算。将建立一系列的寿险模型, 在这些模型中保险金支付的数量是确 定的，给付时间是不确定的。我们把 保险金支付的时间和数量看成只依赖 于被保险人死亡的时间，模型是利用 T(x)和K(x)的定义建立的。4人寿保险的分类 根据不同的标准，人寿保险有不同的分类： （1）以被保险人的受益金额是否恒定进行划分 ，可分为：定额受益保险，变额受益保险。 （2）以保障期是否有限进行划分，可分为：定 期寿险和终身寿险。 （3）以保单签约日
3、和保障期是否同时进行划分 ，可分为：非延期保险和延期保险。 （4）以保障标的进行划分，可分为：人寿保险 （狭义）、生存保险和两全保险。5人寿保险的性质 保障的长期性 这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息 ）成为不容忽视的因素。 保险赔付金额和赔付时间的不确定性 人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保 险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一 个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额 也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余 寿命分布。 被保障人群的大数性 这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的 原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。6保险金给付采用的形式 死亡即刻赔付的形式 在保险期限内，被保险人
4、在保险责任范围内一旦 发生死亡，由保险人立即给付保险金。它是在实 际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。 死亡年度末赔付的形式 在保险期限内，被保险人在保险责任范围内发生 死亡，由保险人在死亡的保单年度末给付保险金 。死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸缴保 费时通常先假定的理赔方式。 7趸缴纯保费的厘定假定条件假定一：同性别、同年龄、同时参保的被 保险人的剩余寿命是独立同分布的。 假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用 经验生命表进行拟合。 假定三：保险公司可以预测将来的投资收 益（即预定利率）。8纯保费厘定原理保费净均衡原则 净均衡原则，即保费收入的期望现时值正 好等于将来的保险赔付金的期
5、望现时值。它 的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大 数场合下，收费期望现时值等于支出期望现 时值. 9本章的基本思路 确定随机变量T(x)或K(x) 写出关于随机变量T或K的给付现值函数ZT或ZK+1它是一个依赖于赔付时间、赔付金额和贴现函数 的随机变量 .定义给付现值函数：10 精算现值=给付现值函数的期望 趸缴纯保费= EZT 或EZK+1=zk+1*p11主要内容安排 死亡年度末给付的寿险（4.2） 死亡即付的寿险（4.1） 死亡即付和死亡年末给付的寿险的精算现值的关系（4.3） 利用转换函数计算趸缴纯保费（补充） 变额寿险趸缴纯保费（4.4） 离散型终身寿险趸缴纯保费的递推公式（补充
6、）124.2 离散型的人寿保险模型（P56） 保险金死亡年末赔付 由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的 当年年末，所以死亡年末赔付时刻是一 个离散随机变量，它距保单生效日的时 期长度就等于被保险人签约时的整值剩 余寿命加一。13思路方法 引入随机变量K 写出关于随机变量K的给付现值函数ZK+1 求离散型随机变量的期望14 设被保险人在投保时的年龄为x岁，其未来寿 命整年数为K（x）， 保险金在K（x）+1处给付，给付数额为bk+1 元，vk+1为给付1个单位在签单时的贴现系数 ，则 。 离散型的人寿保险模型下的一般表达式是：15定期寿险的趸缴纯保费表示（x）投保保险期限为n年，保险金额为1 单位
7、元，死亡年度末给付的保险的趸缴纯保费。（1）随机变量为K. k=0,1,2,n-1,n,n+1= 1,k=0,1,2,n-10,其他（2）给付现值函数ZZ= 1* ,k=0,1,2,n-10 ,其他16(3)K、Z的分布律K 0 1 2 . n-1Z v v2 v3 . vn P(K=k) qx 1|qx 2|qx n-1|qx 17自然保费，是根据每一保险年度，每一被保险人当年 年龄的预定死亡率计算出来的该年度的死亡保险费。18 例:55岁的男性投保5年期定期寿险,保险 金于死亡年末给付, 按中国保险业经验 生命表CL1（2000-2003）和利率6%, 计 算： (1)保险金额为1000元
8、的趸缴纯保费。 (2)趸缴纯保费为1000元的保险金额。19终身寿险的趸缴纯保费 Ax 表示（x）投保保险金额为1元，保险 期限为终身，死亡年末给付的寿险的趸 缴纯保费。 将上例定期寿险改为终身寿险20两全保险的趸缴纯保费 Ax:n 表示（x）投保保险期限为n年，保 险金额为1元的两全保险的精算现值。 （1）K （2）Z= 1*vk+1 k=0,1,2 n-11*vn kn21（3）K、Z的分布律 k 0 1 2 n-1 n Z v v2 v3 vn vn P(K=k) qx 1|qx 2|qx n-1|qx npx EZ + vn* npx = +22 例：设（35）购买离散型保额为1000
9、0元 的5年期两全保险，年利率i=6%,利用附 表1计算该保单的趸缴纯保费。23延期寿险的趸缴纯保费延期m年的n年定期人寿保险表示（x）投保延期m年,保险期限为n年,保险金 为1元死亡年度末给付的寿险的趸缴纯保费。 （1）K1, k=m,1,2,mn-1= 0, 其他 （2）给付现值函数ZZ= 1* vk+1,k=m,1,2,mn-10 , 其他2425延期m年的终身寿险表示(x)投保延期m年保险金额为 1单位元死亡年度末给付的延期终身寿险 的精算现值。26 例题：设（40）购买了延期10年定期15 年的人寿保险,若保险金额为20000元,利 用附表2求趸缴纯保费.(i=0.06)27 试证：
10、28离散型的人寿保险模型 各种寿险趸缴纯保费计算公式小结（ P60） 定期寿险 终身寿险 两全保险 延期m年的终身 延期m年的定期 延期m年的两全294.1连续型的人寿保险模型（P46） 死亡即刻赔付 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意 时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机 变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保 险人签约时的剩余寿命。30连续型的人寿保险模型基本思路: 确定随机变量T(x)简写为T 写出关于随机变量T的给付现值函数ZT 精算现值=给付现值函数的期望趸缴纯保费=E（ZT）31n年定期保险的趸缴纯保费 （x）投保连续型的保额为1单位元的n年定 期寿险，其有关函数:bt
11、= 1(tn)0 (tn)vt=ZT= 1*vT Tn0 Tn 趸缴纯保费用 表示。32 =E(ZT)= = = , 为利力。3334 P48:例4.1.1设生存函数 (0x100),年利率为0.1,计算:35终身寿险 表示（x）投保终身寿险，保险金额为1 元，死亡时立即给付保险金的趸缴纯保费。 t0=36 例题:4.1.2 设（x）投保连续型的保险金额为1元的终 身寿险，签单时其未来寿命T的密度函数 = 1/60 , 0t60 ，利力为。 0 , 其他 求趸缴纯保费。37两全保险的趸缴纯保费 :表示（x）投保n年期两全保险。若在n年内 死亡保险人立即给付1元，若生存满n年则在第n 年末支付满
12、期保险金1元的趸缴纯保费。 则：ZT= 1*vT Tnvn Tn = E（ZT）= + vn npx =38延期寿险的趸缴纯保费 P52 :表示（x）投保延期m年的终身寿险，保 险金额为1元，保险金在死亡时立即给付的趸 缴纯保费，则： ZT= 0 Tm 1*vT TmP53： 例4.1.4 （1）39 若（x）投保延期m年的n年定期寿险，保险金 额为1元，保险金在死亡时立即给付。趸缴纯 保费用 表示。P52:4.1.940 若（x）投保延期m年的n年期两全保险，保险 金额为1元，死亡保险金在死亡时立即给付。 趸缴纯保费用 表示。 41死亡即付寿险的 趸缴纯保费计算公式小结 P56 定期寿险 终
13、身寿险 两全保险 延期m年的终身 延期m年的定期 延期m年的两全424.3 死亡即付和死亡年末付寿险 精算现值的关系 P61 死亡即期给付模型符合实际，但必须在知 道连续型随机变量的生存函数时才可求得 。死亡年末付寿险模型计算简便，可直接 利用生命表求，但不符实际。 本节通过适当的假设寻找死亡即付和死亡 年末付精算现值的关系。43 P61 推导过程的几点说明 1.第二步 2.UDD假设 3.连续收付年金终值 P29 2.5.3-2.5.54445 UDD假设下，死亡即期给付和死亡年度末给付 的寿险趸缴纯保费的关系：46 P62：例4.3.1 (35)投保25年期两全保险,保险金额为20 万元,
14、在死亡或满期时立即给付.用中国 人寿保险业经验生命表CL1及年利率 i=6%,在UDD下，计算其趸缴纯保费。47补充：利用转换函数计算趸缴纯保费 令：Dx= vx* lx Nx=Dx+Dx+1+= Sx=Nx+Nx+1+Nx+2+ =为了简化公式和方便计算，我们设置以下几个新的转换函数 48 令：Cx= vx+1* dx Mx=Cx+Cx+1+Cx+2+= Rx=Mx+Mx+1+Mx+2+=49 利用转换函数可得：50515253 例题： 依据附表1，计算保险金额为1元的下列保 单，在20岁签发时的趸缴纯保费。设死亡 给付发生在保单年度末，利率为6%。 （1）终身寿险 （2）25年定期寿险 （3）30年两全保险544.4 变额寿险（离散型寿险模型） 变额寿险指
