计算机控制系统第2章

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1、计算机控制系统 第2章 计算机控制系统的 数学描述1本章主要内容2.1 计算机控制系统信号2.2 离散系统的时域描述-差分方程 2.3 离散系统z域描述-脉冲传递函数 2.4 离散系统频域描述-频率特性 2.5 离散系统状态空间描述-状态方程 2.6 应用实例 l 本章小结22.1 计算机控制系统信号l本节主要内容2.1.1 采样过程数学描述及特性2.1.2 采样定理2.1.3 信号的恢复与重构2.1.4 信号的整量化31.采用过程l采样器就是不同形式的“开关” lp-采样时间，采样所得的脉冲宽度 lT-采样周期，采样开关相邻2次闭合之间的间隔时间 ，单位为s 2.1.1 采样过程数学描述及特

2、性图2-1 采样过程描述42.1.1 采样过程数学描述及特性lfs=1/T-采样频率(Hz) 。ls2fs2/T-采样角频率 (rad/s)，简称采样频率l理想采样过程-若Tp，近似认为采样瞬时完成，即 认为p0，理想采样信号用f *(t)表示。-为避免在采样时间内被采样信号的变化，提高 采 样信号的精度，通常在采样开关之后接有零阶保 持器，以保证采样器的输出为恒值。 均匀采样：整个采样过程中采样周期不变。非均匀采样：采样周期是变化的。随机采样：采样间隔大小随机变化。单速率系统：系统里，各点采样器的采样周期均相同 。多速率系统：各点采样器的采样周期不相同。52.1.1 采样过程数学描述及特性2

3、 理想采样信号的时域描述 1）理想采样开关的数学描 述u用函数来描述u理想采样开关 -其时域数学表达式为-表示延迟kT时刻出现的脉 冲，定时作用.图2-2 理想采样开关的数学描述62.1.1 采样过程数学描述及特性2) 理想采样信号的时域数学描述l理想采样信号f *(t)可以看作是连续信号f(t) 被单位脉 冲序列串T调制的过程。图2-3 采样器脉冲幅值调制器72.1.1 采样过程数学描述及特性l理想采样信号的时域表达式-f(t)在t s /2时 频谱响应产生混叠 142.1.1 采样过程数学描述及特性例2-2 两个频率为f1=1/8Hz 、f2=7/8Hz的余弦信号被 采样频率为fs=1Hz

4、的采样开关采样。试研究其频谱 及时域特性。l连续余弦信号的频谱为位于相应频率处的脉冲，如 图（a）、 (c) 所示。图2-8两个余弦信号采样信号频谱152.1.1 采样过程数学描述及特性l采样信号频谱 如 图(b) 、(d)所示。l从图可见，两个信号的采样信号频谱完全相同。lf2=7/8Hz的余弦信号，采样后变为低频f1=1/8Hz的余 弦信号。lf0=fs - f2 =(1-7/8) Hz=1/8 Hz-频谱7/8Hz的假频。 162.1.1 采样过程数学描述及特性l假频现象在时域中有清楚的物理意义。 l两个信号在所有采样时刻都具有相同的采样值。l采样信号频谱在以下两种情况下，将产生频率混叠

5、现象 ：-连续信号的频谱带宽有限，但采样频率太低,如s 2max ，但考 虑到实际闭环系统稳定性以及其他设计因素的要求， 所需要的采样频率比理论最小值要高得多。 l上例中，T=2min时不满足采样定理，采样信号失真 。如果一个连续信号不包含高于频率max的频率 分量（连续信号中所含频率分量的最高频率为max)， 那么就完全可以用周期T 2max，那么就可以从 采样信号中不失真地恢复原连续信号。 202.1.2 采样定理2采样信号失真 (1)信号的高频分量折叠为低频分量 如例2-2，f2 =7/8Hz的余弦信号，由于fs =1Hz，不满足 采样定理，采样信号将要失真。l如果两个连续信号的频率相差

6、正好是s的整数倍，即 1-2=ns（n为整数），则它们的采样值相同。l不满足采样定理，一个高频连续信号采样后将会变成 一个低频信号。 212.1.2 采样定理(2) 隐匿振荡(Hidden oscillation)l如果连续信号x(t) 的频率分量等于采样频率s的整数 倍，则该频率分量在采样信号中将会消失。l 令采样频率s =3rad/s ，采样序列为 222.1.2 采样定理这表明x(kT) 中仅含有x1(t) 的采样值，而x2(t) 的采 样振荡分量消失了。 在采样间隔之间，x(t) 中存在的振荡称为隐匿振荡。 图2-12采样信号的隐匿振荡232.1.2 采样定理3 前置滤波器l若有用信号

7、混有高频干扰信号，采样频率对干扰信号 不满足采样定理，干扰信号采样后变成低频信号进入 系统影响系统的正常输出。l解决方法：-按高频干扰的频率选取采样频率s，但会使采样频 率s过高，难于实现。-工程上常用的方法是在采样开关之前加入模拟式的 低通滤波器-前置滤波器。l主要作用：-滤除连续信号中高于s/2的频谱分量，防止频谱混叠.-滤除高频干扰。l最常用的形式是 -时间常数TF 应根据噪声干扰特性来选取。 241 理想恢复过程l信号恢复：时域上由离散的采样值求出所对应的连续时间函数 ；频域上除去采样信号频谱的旁带，保留基频分量。l理想不失真恢复需要具备3个条件：(1) 原连续信号的频谱必须是有限带宽

8、的频谱； (2) 采样必须满足采样定理；(3) 具有理想低通滤波器，对采样信号进行滤波。2.1.3 信号的恢复与重构图2-14采样信号通过理想滤波器的恢复252.1.3 信号的恢复与重构l理想低通滤波器是物理不可实现的。lt=0时，产生的脉冲响应如图2-15,不符合物理可实现系 统的因果关系。 2 非理想恢复过程l物理上可实现的恢复只能以现在时刻及过去时刻的采样值为基础，通过外推插值来实现。l2点之间的函数，数学上可表示为 图2-15 理想低通滤波器 脉冲响应262.1.3 信号的恢复与重构l级数取项越多，近似程度越高，近似时所需延迟脉冲 数目越多，对反馈系统稳定性影响越严重。l通常取多项式中

9、的零阶项，称为零阶外推插值，因为 在kTt (k+1)T内，f(t)保持不变，又称零阶保持器。 3 零阶保持器(ZOH)l时域方程l输出不光滑；l带来时间滞后(滞后T/2)。 图2-16 零阶保持器的输入与输出272.1.3 信号的恢复与重构l脉冲过渡函数 l零阶保持器的传递函数 图2-17 ZOH的脉冲过渡函数282.1.3 信号的恢复与重构l零阶保持器的频率特性l零阶保持器的幅频特性及相频特性 292.1.3 信号的恢复与重构l低通滤波器，特点： -零阶保持器有无限多个 截止频率cns(n1， 2，)，在0s内，幅值 随增加而衰减。 -零阶保持器允许采样信 号的高频分量通过，幅 值是逐渐衰

10、减的。 -零阶保持器是相位滞后 环节，相位滞后与信号 频率及采样周期T成 正比 图2-18 零阶保持器的频率特性302.1.3 信号的恢复与重构4 后置滤波l零阶保持器允许高频分量通过，当采样周期较大（相 当时域曲线的阶梯较大） 时，ZOH的输出势必对系统 的动态特性产生不良影响。 l零阶保持器后面串入一个模拟式低通滤波器，称为后置滤波器。 l作用：滤除高频分量，把输出响应的阶梯展平。l给系统引入相位滞后，影响整个系统的动态特性。l通过修改控制器参数或加入校正网点加以补偿。l执行机构及被控对象的惯性比较大，可不需另加后置滤波器。312.2 离散系统的时域描述差分方程本节主要内容2.2.1 差分

11、的定义2.2.2 差分方程2.2.3 线性差分方程的求解322.2.1 差分的定义l连续函数f(t)，采样后为f(kT)，简写为 f(k)。 定义：l一阶向前差分-二阶向前差分-n 阶向前差分-l一阶向后差分-二阶向前差分-n 阶向前差分- 332.2.2 差分方程l差分方程是描述离散系统的方程l一连续系统用下述微分方程描述 微分用差分代替 差分方程 图2-20 离散系统的差分表示342.2.2 差分方程l离散系统输出与输入序列之间可以用方程描述如下：ln为差分方程的阶次，m是输入信号的阶次， l线性常系数差分方程。 l方程的阶次和系数由物理系统结构及特性决定的。l差分方程还用向后差分表示为：

12、 352.2.3 线性差分方程的求解l差分方程的解分为：通解：与方程初始状态有关的解。 特解：描述系统在外部输入作用下的强迫运动。 1 线性差分方程的z变换求解 例2-4 用z变换法求解下述差分方程 2 线性差分方程的迭代求解 例2-5 差分方程迭代求解l这种数值求解方法只能求 得的有限项，难以得到解的 闭合形式。l对于n阶差分方程，必须具 有c0 至cn-1 的初始条件。 图2-21 差分方程的解序列表示362.3 离散系统z域描述-脉冲传递函数本节主要内容2.3.1脉冲传递函数的定义2.3.2 脉冲传递函数特性2.3.3差分方程与脉冲传递函数2.3.4 离散系统的方块图描述 372.3.1

13、 脉冲传递函数的定义l离散系统脉冲传递函数(z传递函数)定义为：l系统输出量的z变换 l输出的采样信号 l采样系统可在输出端虚设一个与输入开关同步动作的采样开关。 在初始条件为零时，系统输出量z变 换与输入量z变换之比图2-22脉冲传递函数382.3.2 脉冲传递函数特性1脉冲传递函数的求取l脉冲传递函数可看作是系统输入为单位脉冲时，它的 脉冲响应的z变换l已知连续传递函数G(s)，脉冲传递函数G(z)求取步骤：-对G(s)作拉普拉斯反变换，求得脉冲响应-对g(t)采样，求得离散系统脉冲的响应为-对离散脉冲响应作z变换，即得系统的脉冲传递函数 392.3.2 脉冲传递函数特性l以下几种脉冲传递

14、函数的表示方法均可应用：l脉冲传递函数可采用如下四种方式表示：z多项式之比 z-1 多项式之比零极点形式 多项式形式 k可为有限值，z不能为正幂 402.3.2 脉冲传递函数特性2脉冲传递函数的极点与零点l脉冲传递函数G(z)的极点：-可由G(s)按z=e-sT 关系映射得到。 - G(z)的极点位置不仅与G(s)的极点有关，还与采样周期密切相关，当T较小时极点将趋于Z=1点。l脉冲传递函数G(z)的零点：- G(z) 零点与G(s) 的关系复杂，不存在零点映射的公式 。 -采样过程会增加额外的零点。-若G(s)没有右半平面的零点，极点数与零点数之差 大于2，且采样周期较小， G(z)总会产生

15、不稳定的零点 。带有不稳定零点的G(z)是十分普遍的。 -有不稳定零点的G(s) ，采样周期取得合适， 可以给出 没有不稳定零点的G(z) 。412.3.2 脉冲传递函数特性例2-6 已知连续传递函数试检查脉冲传递函数零点随采样周期T的变换。 解：可以求得该式零点表达式为T=0.2， z1 =-0.9231； T=0.01，z1 =-0.9960；T=0.001，z1 =-0.99960； T=0.0001，z1 = -1。l采样周期T较小时，脉冲传递函数将会出现不稳定的 零点。 422.3.3差分方程与脉冲传递函数1 由差分方程求脉冲传递函数已知差分方程，且初值为零：l两端z变换：l脉冲传递函数：l系统的特征多项式 432.3.3差分方程与脉冲传递函数2 由脉冲传递函数求差分方程 l已知脉冲传递函数，z反变换可求得相应的差分方程 。l控制器软件编程实现时，由脉冲传递函数求差分方程 很重要。 Z反变换 442.3.4 离散系统的方块图描述1.环节连接的等效变换 1）环节串联连接的等效变换 (1) 采样系统中连续部分的结构形式图2-23 连续部分的4种结构形式452.3.4 离散系统的方块图描述l只有当输入信号及输出信号均有采样开关，能写