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1、120172017 高考数学一轮复习高考数学一轮复习 第八章第八章 立体几何立体几何 8.48.4 垂直的判定与性质垂直的判定与性质对点训练对点训练 理理1.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是( )Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定答案 D解析 由l1l2，l2l3可知l1与l3的位置不确定，若l1l3，则结合l3l4，得l1l4，所以排除选项 B、C，若l1l3，则结合l3l4，知l1与l4可能不垂直，所以排除选项 A.故选 D.2如下图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC3
2、，ACB.D，E分别为线段 2AB，BC上的点，且CDDE，CE2EB2.2(1)证明：DE平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值解 (1)证明：由PC平面ABC，DE平面ABC，故PCDE.由CE2，CDDE，得CDE为等腰直角三角形，故CDDE.2由PCCDC，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD.(2)由(1)知，CDE为等腰直角三角形，DCE.如下图，过D作DF垂直CE于F， 4易知DFFCFE1，又已知EB1，故FB2.2由ACB得DFAC， ， 2DF ACFB BC2 3故ACDF .3 23 2以C为坐标原点，分别以， ，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立
3、空间直角CACBCP坐标系，则C(0,0,0)，P(0,0,3)，A，E(0,2,0)，D(1,1,0)，(1，1,0)，(3 2，0，0)ED(1，1,3)，.DPDA(1 2，1，0)设平面PAD的法向量为n n1(x1，y1，z1)，由n n10，n n10，DPDA得Error!故可取n n1(2,1,1)由(1)可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量n n2可取为，即n n2(1，1,0)，从ED而法向量n n1，n n2的夹角的余弦值为 cosn n1，n n2，n n1n n2 |n n1|n n2|36故所求二面角APDC的余弦值为.363如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为
4、等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC4，EF2a，EBCFCB60，O为EF的中点3(1)求证：AOBE；(2)求二面角FAEB的余弦值；(3)若BE平面AOC，求a的值解 (1)证明：因为AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AOEF.又因为平面AEF平面EFCB，AO平面AEF，所以AO平面EFCB.所以AOBE.(2)取BC中点G，连接OG.由题设知EFCB是等腰梯形，所以OGEF.由(1)知AO平面EFCB，又OG平面EFCB，所以OAOG.如右图建立空间直角坐标系Oxyz，则E(a,0,0)，A(0,0，a)，B(2，(2a)，0)，(a,0，a)，33EA34(a2
5、，(a2)，0)BE3设平面AEB的法向量为n n(x，y，z)，则Error!即Error!令z1，则x，y1.于是n n(，1,1)33平面AEF的法向量为p p(0,1,0)所以 cosn n，p p.n np p |n n|p p|55由题知二面角FAEB为钝角，所以它的余弦值为.55(3)因为BE平面AOC，所以BEOC，即0.BEOC因为(a2，(a2)，0)，(2，(2a)，0)，BE3OC3所以2(a2)3(a2)2.BEOC由0 及 0a2，解得a .BEOC4 34如图 1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的 2中点，O是AC与BE的交点
6、将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图 2.(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值解 (1)证明：在图 1 中，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD，所以BEAC. 2即在图 2 中，BEOA1，BEOC，从而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，5所以A1OC. 2如下图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B，E，A1，C，得(22，0，0)(22
7、，0，0)(0，0，22)(0，22，0)，(，0,0)BC(22，22，0)A1C(0，22，22)CDBE2设平面A1BC的法向量n n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n n2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD夹角为，则Error!得Error!取n n1(1,1,1)；Error!得Error!取n n2(0,1,1)，从而 cos|cosn n1，n n2|，23 263即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.635 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马PABCD中，侧棱P
8、D底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.6(1)证明：PB平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值 3DC BC解 (1)证明：因为PD底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD.而DE平面PCD，所以BCDE.又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC.而PCBCC，所以DE平面PBC.而PB平面PBC，所以PBDE.又PBEF，DEEFE，所以PB平面DEF.
9、由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.(2)如图，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线由(1)知，PB平面DEF，所以PBDG.又因为PD底面ABCD，所以PDDG.而PDPBP，所以DG平面PBD.故BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PDDC1，BC，有BD，12在 RtPDB中，由DFPB，得DPFFDB， 3则 tantanDPF，解得. 3BD PD1232所以.DC BC1 22故当面DEF与面ABCD所成二面角
10、的大小为时，. 3DC BC226.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2，AD1，PD底面ABCD.7(1)证明：PABD；(2)若PDAD，求二面角APBC的余弦值解 (1)证明：因为DAB60，AB2AD2，由余弦定理得BD.3从而BD2AD2AB2，BDAD.PD平面ABCD，BD平面ABCD，PDBD.又ADPDD，所以BD平面PAD，所以PABD.(2)如图，以D为坐标原点，DA，DB，DP分别为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0)，B(0， ，0)，C(1， ，0)，P(0,0,1)，(1， ，0)，33AB3(0， ，
11、1)，(1,0,0)，PB3BC设平面PAB的法向量为n n(x，y，z)，则Error!即Error!因此，令y1，则n n(，1，)33设平面PBC的法向量为m m(x0，y0，z0)，则Error!即Error!可取m m(0,1，)，38则 cosm m，n n，m mn n |m m|n n|42 72 77由图知二面角APBC为钝角，故二面角APBC的余弦值为.2 777如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，DPC30，AFPC于点F，FECD，交PD于点E.(1)证明：CF平面ADF；(2)求二面角DAFE的余弦值解 (1)证明：PD平面ABCD，PDAD，又CDAD，
12、PDCDD，AD平面PCD，ADPC，又AFPC，AFADA，PC平面ADF，即CF平面ADF.(2)设AB1，则 RtPDC中，CD1，DPC30，PC2，PD，由(1)知CFDF，3DF， 32CF ，又FECD，1 2 ，DE，同理，EF ，如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标DE PDCF PC1 4343 4系，则A(0,0,1)，E，F，P(，0,0)，C(0,1,0)(34，0，0)(34，34，0)39设m m(x，y，z)是平面AEF的法向量，则Error!又Error!Error!令x4，得z，故m m(4,0，)，33由(1)知平面ADF的一个法向量为(，1,0)，设二
13、面角DAFE的平面角为PC3，可知为锐角，cos|cosm m， |，故二面角DAFE的余弦值PC|m mPC|m m|PC|4 319 22 5719为.2 57198.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1A1CACBC2，ACBC，点S是AA1延长线上一点，EF是平面SBC与平面A1B1C1的交线(1)求证：EFAC1；(2)求直线A1C与平面A1ABB1所成角的正弦值解 (1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面A1B1C1，又平面ABC平面SBCBC，平面A1B1C1平面SBCEF，EFBC.平面AA1C1C平面ABC，且ACBC，BC平
14、面ACC1A1.又AC1平面ACC1A1，BCAC1，EFAC1.(2)取A1C1的中点D1，连CD1，AA1A1CAC2，CC1A1CA1C12，CD1A1C1.由(1)知BC平面ACC1A1.以点C为原点，CA，CB、CD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,2,0)，C(0,0,0)，A1(1,0，)，A(2,0,0)310(1,0，)A1C3设平面A1ABB1的法向量为n n，则n nn n0，而(1,0，)，(2,2,0)，AA1ABAA13AB可求得平面A1ABB1的一个法向量为n n(3,3，)，3|cos，n n|.A1C|n nA1C|n n|A1C|62 21217故直线A1C与平面A1ABB1所成角的正弦值为.217
