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1、一、正态分布的概率密度与分布函数二、正态分布的数字特征三、正态分布性质四、中心极限定理第四章 正 态 分 布基本内容：Date1一、正态分布的密度函数及分布函数定义. 设随机变量X的概率密度为则称X服从正态分布(或记作1. 正态分布 ( Normal distribution )高斯分布）,其分布函数为：Date2正态密度函数的特性：Date3Date4正态分布函数的图形：1Date5正态分布的应用及背景:正态分布是概率论中最重要的分布, 例如测量误差、学生成绩，人的身高、体重、正常情况下生产的产品尺寸等大量随机现象可以用正态分布描述.Date62. 标准正态分布(standardized n
2、ormal distribution)为标准正态分布, ,特别地,且其分布函数：则称N(0,1)其密度函数为Date7Date8标准正态分布函数 表u01234567890.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.629
3、30.63310.63860.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.72240.60.72570.72910.73240.73570.73890.74220.74540.74860.75170.75490.70.75800.76110.76420.76730.77030.77340.77640.77940.78230.78520.80.78810.
4、79100.79390.79670.79950.80230.80510.80780.81060.81330.90.81590.81860.82120.82380.82640.82890.83150.83400.83650.83891.00.84130.84380.84610.84850.85080.85310.85540.85770.85990.86211.10.86430.86650.86860.87080.87290.87490.87700.87900.88100.88301.20.88490.88690.88880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.
5、90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92790.92920.93060.93191.50.93320.93450.93570.93700.93820.93940.94060.94180.94290.94411.60.94520.94360.94740.94840.94950.95050.95150.95250.95350.95451.70.95540.95640.95730.95820.95910.95990.960
6、80.96160.96250.9633Date9求解:例1.设Date103. 正态分布向标准正态分布的转化将随机变量X进行标准化, 即令则有下面给出简单说明：故 Y N(0,1).Date11则X落在区间x1, x2内的证明：定理：设概率为Date12解 :求测量误差X的绝对误差X服从正态分布值小于0.1mm的概率.例2.测量某种小轴的直径(单位:mm)时发生的测量Date13设随机变量X表示“考生考试成绩”，问总分应是多少算上线？解：总分上线应为 x 分 .由题意知经查表考试成绩呈正态分布,例3.某省高考人数是35000人, 计划招生3500人,占考生人数的Date141. 期望E(X)二
7、、正态分布的数字特征则Date15则2.方差Date16( 法则)求 X 落在区间内的概率.解 :3倍标准差原理: 设 很大, 基本上认为此区间 为X实际可能的取 值区间.例4.设随机变量Date17思考：因为Date18也服从正态分布,证明：Y的分布函数为(1)当b0，有上式两边关于y求导，得三、正态分布的性质X的线性函数且有则性质1(线性性). 设 X 服从正态分布Date19(2) 当b0，有上式两边关于y求导，得综上两种情况, Y的密度函数为所以Date20则它们的和Z=X+Y性质2(可加性). 设X与Y相互独立, 都服从正态分布:也服从正态分布， 且有Date21且有性质3(线性组合
8、性).设相互独立，都服从正态分布：则它们的线性组合也服从正态分布，其中为常数.Date22Z1 服从正态分布,令 Z=2X-Y+3, 解:则由于X,Y 相互独立, 而Z=Z1+3是Z1的线性函数，即Z的概率密度：例5.设XN(1,2), YN(0,1), 且X与Y相互独立.并写出Z的概率密度.设因此Z服从正态分布.求E(Z), D(Z),Date23四、中心极限定理实际问题中，经常遇到很多随机变量是服从或近似服从正态分布的.例如, 工业生产中各种产品的质量指标(如零件的尺寸、材料的强度)，生物学中同一群体的特征(如: 动物的身长、体重), 测量误差, 等等.怎样理解“服从正态分布的随机变量广泛
9、地存在”这一客观规律性呢？中心极限定理.Date24且则随机变量设随机变量相互独立, 服从相同的分布,定理1.独立同分布的中心极限定理对于任何实数x，有Date25注：(3) 独立同分布的随机变量的和近似服从正态分布. Date26大于20500g的概率.例6.用机器将口服液装瓶, 由于机器会有误差,所以每瓶的口服液净重为随机变量， 其期望为100g标准差为10g. 一箱内装200瓶， 求一箱口服液净重设一箱口服液净重X克,解：箱中第i瓶净重Xi克,则显然独立且同分布, 且Date27按独立同分布的中心极限定理Date28二、掌握非标准正态分布向标准正态分布的转化，内容小结一、掌握正态分布的密度函数和分布函数及其图像及性质； 三、掌握正态分布的数字特征；会利用标准正态分布表，求正态分布的概率；Date293(线性组合性).设且X、Y相互独立, 则四、熟悉正态分布的性质则1 (线性性). 若2 (可加性). 设相互独立，且则Date30作业习题四(P116): 1、2、3、4、7、8五、了解中心极限定理Date31
