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1、山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂3.2.1 边缘分布函数与边缘分布密度3.2.2 随机变量的独立性3.2.3 条件分布3.2 边 缘 分 布山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂设(X, Y)的联合分布函数F(x, y)则 X 和 Y 的边缘分 布函数 FX(x) , FY(y) 分别为:3.2.1 边缘分布函数与边缘分布密度山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂1 p.1 p.2 p.j PY=yjp1.p2.pi.p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pij x1x2xiPX=xi y1 y2 yj XY( i
2、 = 1,2, ) ( j =1,2, ) 例如1. 离散型二维随机向量的边缘分布山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂( i =1,2, ) ( j = 1,2, ) 设 (X, Y) 的联合分布列为 pij = PX=xi ,Y=yj, 则 (X, Y) 的边缘分布列为FY(y) = F(+ ,y) =FX(x) = F(x,+) = (X, Y) 的边缘分布函数为：即P1. p2. pi. pi.x1 x2 xi Xp.1 p.2 p.j p.jy1 y2 yj Y1. 离散型二维随机向量的边缘分布山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂你只要把每列的概率
3、相加放在该列的最下面 ，把每行的概率相加放 在该行的最右面，就大 功告成了。把第一行和最后一行 拿出来就是X的分布；把 第一列和最后一列拿出 来就是Y的分布。例1 已知随机向量（X，Y）的联合分布如下表，求 关于X 和Y 的边缘分布。边缘分布pi.和p.j分别 是联合分布表中第i行和 第j列各联合概率之和 Y X-10200. 10. 20 10. 30. 050. 1 20. 1500. 1YX -102pi.0 1 20. 1 0. 3 0. 150. 2 0. 05 00 0. 1 0. 10. 3 0. 45 0. 25p.j0. 550. 250. 2山东农业大学 概率论与数理统计
4、主讲人：程述汉 苏本堂设连续型随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为 f(x,y)由于所以例2 设随机变量（X，Y）的密度函数为试求参数k的值及X和Y的边缘密度。通常分别称上式为二维随机变量关于X和Y的边缘密度函 数或边缘密度。2. 二维连续型随机变量边缘概率密度函数山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 解 根据联合密度函数的性质，有所以 X的边缘密度函数 当0x1时，当0x或x1时,故同理可得 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂解 令可见 X N(1,12 ) , Y N(2,22 ).例3 设(X，Y)服从N(1， 12； 2，22；)， 求边缘密度。
5、山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂定义 设两个随机变量X, Y, 若对任意的实数 x, y 有 F(x，y) = FX(x) FY(y)PXx, Yy = PXx PYy则称随机变量X与Y是相互独立的。1. (X, Y)是离散型若(X,Y)的所有可能取值为(xi, yj) (i, j=1, 2, ), 则X与 Y相互独立的充分必要条件是对一切 i, j=1, 2, , 有PX = xi，Y= yj= PX= xi PY= yi 即3.2.2 随 机 变 量 的 独 立 性山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂定理1 若(X, Y)的 f(x,y)处处连续，则
6、X和Y相互独立 的充分必要条件是 f (x,y) = fX(x) fY (y) 2. (X, Y)是连续型证明 充分性：若 f (x,y) = fX(x) fY (y)，则必要性：若X、Y互相独立，则F(x,y)= FX(x) FY(y)，故 f (x,y) = fX(x) fY (y)即山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例4 如果二维随机变量的概率分布用下列表格给出那么当 , 取什么值时，X与Y才能相互独立？(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)PYX123pi.11/61/91/181/321/31/3+p.j1/21/9+1/18+解
7、 先写出联合分布的表格形式，并计算边缘分布山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂联立以上两式求得若与相互独立， 则对于所有的i, j，都有pij = pi. p.j因此山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂例5 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数=2 和=1的指数分布，求 解 据题意，X的密度函数 为 Y的密度函数为 因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合密度为：于是 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂今向一个半径为r的圆内随机投点，则点落在圆内面 积相等的不同区域内的概率相等，即落点坐标(X, Y)服 从D：x2+y2r2区域上的均匀分
8、布. （1）判断X与Y是否相互独立；（2）计算落点（X，Y）到原点的距离不超过a的概 率(00，有 Px 0若存在, 则称此极限为X=x的条件下Y的条件分布函数。且有PYy |X=x 或 FY |X(y|x)记作二、连续型随机向量(X, Y)的条件分布山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂事实上，若f(x, y)在点( x, y) 处连续，fx(x)连续， 且 fx(x)0, 则有山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂对y求导，得到在条件X=x下Y的条件概率密度 类似地，在条件Y=y下，X的条件分布函数及条件概 率密度为 山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂例7 设二维离散型随机变量(X, Y)的概率分布如下表. 求Y在x=0和x=1条件下的条件概率分布. 解 (X, Y)关于X的边缘概率分布为 YX-102 00.20.10.3 10.10.20.1得在x=0和x=1条件下Y的条件概率分布为： 由公式 x01 pi.0.60.4山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂2 0 2 0-1 -1
