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1、 图论及其应用应用数学学院1第七章 图的着色一、图的边着色 二、图的顶点着色主要内容三、与色数有关的几类图和完美图 四、色多项式五、List着色与全着色10学时讲授本章2本次课主要内容(一)、相关概念(二)、几类特殊图的边色数图的边着色(三)、边着色的应用3现实生活中很多问题，可以模型为所谓的边着色问题 来处理。例如排课表问题。(一)、相关概念排课表问题：设有m位教师，n个班级，其中教师xi要 给班级yj上pij节课。求如何在最少节次排完所有课。建模：令X=x1,x2,xm, Y=y1,y2,yn,xi与yj间 连pij条边，得偶图G=(X, Y).于是，问题转化为如何在G中将边集E划分为互不
2、相交 的p个匹配，且使得p最小。如果每个匹配中的边用同一种颜色染色，不同匹配中 的边用不同颜色染色，则问题转化为在G中给每条边染色 ，相邻边染不同色，至少需要的颜色数。4这就需要我们研究所谓的边着色问题。定义1 设G是图，对G的边进行染色，若相邻边染不同 颜色，则称对G进行正常边着色；如果能用k中颜色对图G进行正常边着色，称G是k边 可着色的。正常边着色定义2 设G是图，对G进行正常边着色需要的最少颜色 数，称为G的边色数，记为：5注：对图的正常边着色，实际上是对G的边集合的一 种划分，使得每个划分块是G的一个边独立集(无环时是 匹配);图的边色数对应的是图的最小独立集划分数。因此，图的边着色
3、，本质上是对应实际问题中的“划分 ”问题或“分类”问题。6在对G正常边着色时，着相同颜色的边集称为该正常 着色的一个色组。(二)、几类特殊图的边色数1、偶图的边色数定理1 证明：设又设=n。设颜色集合设为0，1，2，n-1, 是 Km,n的一种n着色方案，满足：7我们证明：上面的着色是正常边着色。对K m, n中任意的两条邻接边xiyj和xiyk。若则：i+ j ( mod n)=i +k ( mod n),得到j=k，矛盾！所以，上面着色是正常作色。所以：又显然 ，所以，例1 用最少的颜色数对K3,4正常边着色。8定理2 (哥尼，1916)若G是偶图，则x2x1x0y3y2y1y0定义3 设
4、是G的一种正常边着色，若点u关联的边的 着色没有用到色i，则称点u缺i色。证明：我们对G的边数m作数学归纳。当m=1时，=1，有9设G是具有m条边的偶图。设对于小于m条边的偶图来说命题成立。取uv E(G), 考虑G1=G-uv,由归纳假设有：这说明，G1存在一种(G)边着色方案。对于该着色 方案，因为uv未着色，所以点u与v均至少缺少一种色。情形1 如果u与v均缺同一种色i, 则在G1+uv中给uv着色 i, 而G1其它边，按方案着色。这样得到G的着色方案 ，所以：情形2 如果u缺色i, 而v缺色j，但不缺色i。10设H (i, j) 表示G1中由i色边与j色边导出的子图。显然 ，该图每个分
5、支是i色边和j色边交替出现的路或圈。对于H(i, j)中含点v的分支来说，因v缺色j, 但不缺色i, 所以，在H(i, j)中,点v的度数为1。这说明，H(i ,j)中含v的 分支是一条路P。进一步地，我们可以说明，上面的路P不含点u。因为，如果P含有点u, 那么P必然是一条长度为偶数的 路，这样，P+uv是G中的奇圈，这与G是偶图矛盾！既然P不含点u, 所以我们可以交换P中着色，而不破坏 G1的正常边着色。但交换着色后，u与v均缺色i, 于是由 情形1,可以得到G的正常边着色，即证明：112、简单图的边色数引理：设G是简单图，x与y1是G中不相邻的两个顶点， 是G的一个正常k边着色。若对该着
6、色，x,y1以及与x相邻点 均至少缺少一种颜色，则G+xy1是k边可着色的。正常k边着色图Gx1y1xx2xk缺色缺色缺色 缺色 缺色正常k边着色图G1x1y1xx2xk12定理3 (维津定理，1964) 若G是单图，则：证明：只需要证明 即可。采用对G的边数m作数学归纳证明。当m=1时，=1，设当边数少于m时，结论成立。下面考虑边数为m2的 单图G。设xy E(G)，令G1=G-xy。由归纳假设有：13于是，存在G1的(G)+1正常边作色。显然G1的每个顶 点都至少缺少一种颜色。根据引理知G1+xy是(G)+1可着色 的。即证明：注: (1) 根据维津定理，单图可以按边色数分成两类图，一 是
7、色数等于(G)的单图，二是色数等于(G)+1的单图。(2) 维津(Vizing) : 1937年出生于乌克兰的基辅。1954年 开始在托木斯克大学学习数学，1959年大学毕业保送到莫 斯科斯特克罗夫研究所攻读博士学位，研究函数逼近论。 但这不是他的兴趣所在，因此没有获得学位。1966年在季 科夫的指导下获得博士学位。和大多数数学家一样，维津 在音乐方面具有一定才能。14维津在攻读博士学位期间，发现并证明了上面的维津 定理。他当时把论文投向一家非常著名的杂志，但由于 审稿人认为问题本身没有意义而遭到拒绝。后来在另外 一家地方杂志发表时，定理早已出名。维津认为：一名数学家应该不断研究与发现新结果，
8、然 后让时间来检验其重要性。3、三类特殊简单图的边色数定理4 设G是单图且(G)0。若G中只有一个最大度点 或恰有两个相邻的最大度点，则：15证明: (1) 若单图G恰有一个最大度点u，取u的一个邻点 v,作G1=G-uv。那么，(G1)=(G)-1。由维津定理：于是G1是可(G) 正常边着色的，因为G1的每个顶点都 至少缺少一种颜色，所以由引理：G1+uv=G是可(G) 正常 边着色的，即：(2) 若单图G恰有2个邻接的最大度点u与v。设G1=G-uv。那么，(G1)=(G)-1。由维津定理：16于是G1是可(G) 正常边着色的，因为G1的每个顶点都 至少缺少一种颜色，所以由引理：G1+uv
9、=G是可(G) 正常 边着色的，即：例2 确定下图的边色数。G1G2解：由定理4知道：G317定理5 设G是单图。若点数n=2k+1且边数mk,则：证明：若不然，由维津定理，设是G的(G)正常边着色方案，对于G的每个色组来 说，包含的边数至多(n-1)/2=k。这样： ，与 条件矛盾。例3 确定下图的边色数。G解：由定理5：18定理6 设G是奇数阶正则单图,若0,则：证明：设n=2k+1。因G是正则单图，且0，所以：例4 设n=2k+1,k0。求由定理5：解：由定理6知：19例5 求出彼得森图的边色数。解：一方面，彼得森图中去掉任意一个1因子后，剩 下两个5点圈，所以，不能进行1因子分解，所以：另一方面：通过验证，G可以4正常作色。所以：G20例6 (1) 设G=(X, Y)是一个最大度为的偶图，求证，G 是某个正则偶图 G*的子图。(2) 用(1) 证明：偶图的边色数等于其最大度。证明 (1) 按如下方式构造G*。如果G不是正则偶图，先将G按下图所示方式构造 成为G1XXYYG (1)G (2) G121G (1)与G (2)分别是G的拷贝。红色 边表示xi与xi(yi与yi)之间的一条连线 ，要求是d(xi)35=k,所以由定 理5知：28最优着色为：FDAG CEB图G29作业P187-190 习题7 ：1-630Thank You !31
