《高二数学选修4-4 ~4.4平摆线与圆渐开线1 ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学选修4-4 ~4.4平摆线与圆渐开线1 ppt（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.4.44.4.4平摆线与圆的渐开线平摆线与圆的渐开线1 1、圆的渐开线的定义、圆的渐开线的定义 探究题探究题: :把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆 相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。这相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。这 条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？动点（笔尖）满足什么几何条件？动点（笔尖）满足什么几何条件？ABMO我们把笔尖画出的曲线叫做我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，圆的渐开线，相应
2、的定圆叫做相应的定圆叫做渐开线的基圆。渐开线的基圆。新课讲解：新课讲解：ABMOxy2 2、渐开线的参数方程、渐开线的参数方程以基圆圆心以基圆圆心OO为原点，直线为原点，直线OAOA为为x x轴，建立平面轴，建立平面 直角坐标系。直角坐标系。 设基圆的半径为设基圆的半径为r r，绳子外端，绳子外端MM的坐标为（的坐标为（x x，y y）。）。 显然，点显然，点MM由角由角 唯一确定。唯一确定。这就是这就是圆的渐开线的参数方程圆的渐开线的参数方程. .2 2、渐开线的参数方程、渐开线的参数方程ABMOxy渐开线的应用：渐开线的应用：由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，由于渐开
3、线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。因此大多数齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。新课讲解：新课讲解：由于由于MBMB的长随着的长随着 的增加而增加，因此渐开线的形状看起来的增加而增加，因此渐开线的形状看起来 很像一条螺线！很像一条螺线！3 3、平摆线的定义、平摆线的定义 探究题如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的 道路上行使时，白色印记会画
4、出什么样的曲线？道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？同样地，可先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的同样地，可先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的 几何条件。几何条件。我们把点我们把点MM的轨迹叫做的轨迹叫做平摆线平摆线，简称，简称摆线摆线，又叫，又叫旋轮线。旋轮线。上述问题抽象成数学问题就是：上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑当一个圆沿着一条定直线无滑 动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？OABM摆线在它与定直线的两摆线在它与定直线的两 个相邻交点之间的部分个相邻交点之间的部分 叫做叫做一个拱一个拱。xyOD
5、AEB MC3 3、平摆线的参数方程、平摆线的参数方程OABM根据点根据点MM满足的几何条件，我们取定直线为满足的几何条件，我们取定直线为x x轴，定点轴，定点MM滚动时落在定滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为设圆的半径为r r。xyODAEB MC3 3、平摆线的参数方程、平摆线的参数方程OABM摆线的参数方程为：摆线的参数方程为：思考题思考题在摆线的参数方程中，参数在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？的取值范围是什么？ 一个拱的宽度与高度各是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？3 3、平摆线的应用、平摆线的应用v
6、v摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆 上一点的轨迹。上一点的轨迹。vv当基线是直线时，就得到平摆线或变幅平摆线。当基线是直线时，就得到平摆线或变幅平摆线。vv当基线是圆且动圆在定圆内滚动时，就得到内摆线或变幅当基线是圆且动圆在定圆内滚动时，就得到内摆线或变幅 内摆线。内摆线。vv当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆外切，就得到当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆外切，就得到 外摆线或变幅外摆线。外摆线或变幅外摆线。直直 齿齿平行轴齿轮传动机构（圆柱齿轮传动机构）平行轴齿轮传动机构（圆柱齿轮传动机构）斜斜 齿齿齿轮齿条齿轮齿条内齿轮内齿轮交错轴齿轮传动机构交错轴齿轮传动机构斜斜 齿齿蜗杆蜗轮蜗杆蜗轮人字齿人字齿直直 齿齿相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构）相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构） 斜斜 齿齿曲线齿曲线齿准双曲面齿轮准双曲面齿轮
