概率论与数理统计实验

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1、概率论与数理统计实验实验实验3 3 参数估计假设检验实验目的实验内容直观了解统计描述的基本内容。2、假设检验1、参数估计3、实例4、作业一、参数估计参数估计问题的一般提法X1, X2, Xn要依据该样本对参数作出估计，或估计 的某个已知函数 .现从该总体抽样，得样本设有一个统计总体，总体的分布函数向量). 为 F(x, )，其中 为未知参数 ( 可以是参数估计点估计区间估计点估计 估计未知参数的值区间估计 根据样本构造出适当的区间 ，使他以一定的概率包含未知参数或未知 参数的已知函数的真值（一）、点估计的求法 1、矩估计法基本思想是用样本矩估计总体矩 .令设总体分布含有个m未知参数 1 ，m解

2、此方程组得其根为 分别估计参数i ，i=1,.,m，并称其为i 的矩估计。2、最大似然估计法（二）、区间估计的求法反复抽取容量为n的样本,都可得到一个区间,这个区间可能包含未知参数 的真值,也可能不包 含未知参数的真值,包含真值的区间占置信区间的意义1、数学期望的置信区间设样本 来自正态母体X(1) 方差 2已知, 的置信区间(2) 方差 2 未知 , 的置信区间 2、方差的区间估计 未知时, 方差 2 的置信区间为（三）参数估计的命令1、正态总体的参数估计设总体服从正态分布，则其点估计和区间估计可同 时由以下命令获得：muhat,sigmahat,muci,sigmaci = normfit

3、(X,alpha)此命令以alpha为显著性水平，在数据X下，对参 数进行估计。（alpha缺省时设定为0.05），返回值 muhat是X的均值的点估计值，sigmahat是标准差的 点估计值, muci是均值的区间估计,sigmaci是标准差 的区间估计.例1、给出两列参数 =10, =2正态分布随机数，并以 此为样本值，给出 和 的点估计和区间估计命令: r=normrnd(10,2,100,2); mu,sigm,muci,sigmci=normfit(r); mu1,sigm1,muci1,sigmci1=normfit(r,0.01); mu=9.8437 9.9803 sigm=1

4、.9138 1.9955 muci=9.4639 9.584310.2234 10.3762 sigmci=1.6803 1.75202.2232 2.3181mu1=9.8437 9.9803 sigm1=1.9138 1.9955 muci1=9.3410 9.456210.3463 10.5043 sigmci1=1.6152 1.68412.3349 2.4346例2、产生正态分布随机数作为样本值，计算区间估 计的覆盖率。写出m文件。 fuction muratio,sgmratio=fugailv(mu,sgm,n,m,alpha) % mu,sgm分别为参数真值。 %n为模拟试验次

5、数，即产生随机数的组数 %m为样本容量。即每组随机数的个数 %1-alpha为置信水平 muci=;%mu的区间估计 sgmci=;%sgm的区间估计 h=0;%包含mu的区间的个数 t=0;%包含sgm的区间的个数 for i=1:n r=normrnd(mu,sgm,1,m);%产生正态分布随机数mu1,sgm1,muci1,sgmci1=normfit(r,alpha); %给出参数的点估计和区间估计 muci=muci1; sgmci=sgmci1; if muci(1)=mu %判断mu是否在区间内 h=h+1; end; if sgmci(1)=sgm %判断sgm是否在区间内 t

6、=t+1; end; end; muratio=h/n;%mu的覆盖率 smgratio=t/n;%sgm的覆盖率muratio,sgmratio=fugailv(0,1,1000,200,0.05)muratio,sgmratio=fugailv(10,2,2000,500,0.01)muratio,sgmratio=fugailv(4,6,5000,400,0.025)2、其它分布的参数估计(1).取容量充分大的样本（n50），按中心极限定理 ，它近似地服从正态分布；(2).使用Matlab工具箱中具有特定分布总体的估计命令.10muhat, muci = expfit(X,alpha)-

7、 在显著性水平 alpha下，求指数分布的数据X的均值的点估计及其区间 估计. 20 lambdahat, lambdaci = poissfit(X,alpha)- 在显 著性水平alpha下，求泊松分布的数据X 的参数的点估 计及其区间估计. 30phat, pci = weibfit(X,alpha)- 在显著性水平alpha 下，求Weibull分布的数据X 的参数的点估计及其区间 估计.说明：命令mle的调用格式中： phat,pci=mle(dist,data,alpha,p1)只用于二项分布， 其中p1为试验次数 例3、rv=binornd(20,0.75,1,10)%产生10个

8、二项分布随机数参数为20和0.75p,pci=mle(binomial,rv,0.05,20)rv=12 14 18 13 12 14 16 15 18 16 p=0.7400 pci=0.6734， 0.7993例4、生成指数分布随机数100个，假设参数真值为0.5 此为样本值，给出参数 的点估计和区间估计 命令: r=exprnd(0.5,100,1); lamta,lamtaci=expfit(r); lamta,lamtaci=expfit(r,0.01);结果: lamta=0.4579 lamtaci=0.3799， 0.5627 lamta=0.4579 lamtaci=0.35

9、87，0.60153、不常用分布的参数估计（极大似然估计）此类问题一般归结为无约束最优化问题。无约束最优化问题的一般形式：F是参数向量 的函数，通常称为目标函数。此问题 就是在 的定义域 上，求目标函数的最小值点。参数的极大似然估计就是取目标函数为的无约束最优化问题。方法：最速下降法 Newton(牛顿）法及其修正的方法。 共轭方向法和共轭梯度法 变尺度法（拟牛顿法） 等等详见北京大学出版社 高惠璇编著统计计算 P359-P379二、假设检验对总体X的分布律或分布参数作某种假设，根 据抽取的样本观察值，运用数理统计的分析方法， 检验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝 假设.1.参数检验：

10、如果观测的分布函数类型已知，这时构 造出的统计量依赖于总体的分布函数，这种检验称 为参数检验. 参数检验的目的往往是对总体的参数及其有关性质 作出明确的判断.2.非参数检验：如果所检验的假设并非是对某个参数 作出明确的判断，因而必须要求构造出的检验统计量 的分布函数不依赖于观测值的分布函数类型，这种检 验叫非参数检验. 如要求判断总体分布类型的检验就是非参数检验.假设检验的一般步骤是：根据实际问题提出原假设H0与备择假设H1， 即说明需要检验的假设的具体内容 。选择适当的统计量，并在原假设H0成立的条 件下确定该统计量 的分布； 按问题的具体要求，选取适当的显著性水平 并根据统计量的分布查表，

11、确定对应于的临界值. 根据样本观测值计算统计量的观测值，并与临界值 进行比较，从而在检验水平条件下对拒绝或接受原 假设H0作出判断 （一）、参数检验1、单个正态总体均值检验(1) 方差 2已知 用u检验，检验的拒绝域为 (2) 方差 2未知 用样本方差S2代替总体方差 2 ，这种检验叫t检验. 2、单个正态总体方差检验未知时的检验方法，称为 检验法3、两个正态总体均值检验（1）已知 选取统计量（2）方差未知 选取统计量4、两个正态总体方差检验5、参数检验的计算机命令10 z检验（1） 命令ztest函数（2）功能：给定方差条件下进行正态总体均值得检验（3）语法：h=ztest(x,m,sigm

12、);h=ztest(x,m,sigm,alpha);h,sig,ci=ztest(x,m,sigm,alpha,tail);h=1,则拒绝原假设，h=0, 则接收原假设（4）描述：ztest(x,m,sigm)在0.05水平下进行Z检验，以确定 服从正态分布的样本均值是否为m，sigm为给定的标准差h=ztest(x,m,sigm,alpha)给出显著水平控制参数alpha，h,sig,ci=ztest(x,m,sigm,alpha,tail)允许指定是进行单侧检 验还是双侧检验。tail参数可以有下面几个取值：tail=0（为默认设置）指定备择假设tail=1指定备择假设tail=-1指定备

13、择假设sig为与z统计量相关的p值。即当 时，统计量Z大于其观测值z0的概率。 ci为均值真值的1-alpha置信区间。 （5）应用实例例5、生成100个标准正态分布的随机数，假设均值和标 准差的观测值与真值之间没有差异，进行检验。过程如下： x=normrnd(0,1,1,100); h,sig,ci=ztest(x,0,1)结果： h=0 sig=0.6317 ci=-0.1481 0.2439例6、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值总体服从正态分布，方差为0.04，问在0.01水平 上能否接受假设：这批镍含量的均值为3.

14、25。过程如下： x=3.25 3.27 3.24 3.26 3.24； h,sig,ci=ztest(x,3.25,0.04,0.01)结果： h=0 sig=0.9110 ci=3.2059 3.298例7、下面列出的是某工厂随机选取的20只部件的装配时间9.8 10.4 10.6 9.6 9.7 9.9 10.9 11.1 9.6 10.210.3 9.6 9.9 11.2 10.6 9.8 10.5 10.1 10.5 9.7 设总体服从正态分布，方差为0.4，问在0.05水平上能否认为 装配时间的均值显著的大于10。过程如下： x=9.8 10.4 10.6 9.6 9.7 9.9

15、10.9 11.1 9.6 10.210.3 9.6 9.9 11.2 10.6 9.8 10.5 10.1 10.5 9.7； h,sig,ci=ztest(x,10,0.4,0.05,1)结果： h=1 sig=0.0127 ci=10.0529 inf拒绝原假设20 单个样本的t检验（1） 命令ttest函数（2）功能：未知方差条件下进行正态总体均值得检验（3）语法：h=ttest(x,m);h=ttest(x,m,alpha);h,sig,ci=ttest(x,m,alpha,tail);h=1,则拒绝原假设，h=0, 则接收原假设（4）格式的使用和参数的取值含义与ztest大致相同（5）应用实例例8、测得一批刚件20个样品的屈服点（单位：T/mm2）为：4.98 5.11 5.20 5.11 5.00 5.61 4.88 5.27 5.38 5.205.46 5.27 5.23 4.96 5.35