最短路径问题-数学建模[1]

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1、最短最短路径问题路径问题参考书：参考书： 1.1.傅鹂傅鹂 龚劬龚劬 刘琼荪刘琼荪 何中市何中市 数学实验数学实验科学出版社科学出版社 2.2.张绍民张绍民 李淑华李淑华 数据结构教程数据结构教程C C语言版语言版中国电力出版社中国电力出版社主讲：重庆大学主讲：重庆大学 龚龚 劬劬1主要内容主要内容Floyd算法Dijkstra算法两个例子的求解引例2：最廉价航费表的制定引例1：最短运输路线问题最短路径问题的0-1规划模型2如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行 驶所需的时间，有向边表示单行道，无向边表示可双向驶所需的时间，有向边表示单

2、行道，无向边表示可双向 行驶。若有一批货物要从行驶。若有一批货物要从1 1号顶点运往号顶点运往1111号顶点，问运号顶点，问运 货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地？货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地？ 引例引例1 1：最短运输路线问题最短运输路线问题 10237411659813 35 512122 210106 61 15 58 88 87 79 99 9 3 32 22 27 73某公司在六个城市某公司在六个城市C C1 1,C,C2 2,C,C3 3,C,C4 4,C,C5 5,C,C6 6都有分公司，都有分公司， 公司成员经常往来于它们之间，已知从公司成员经常往来于它们

3、之间，已知从CiCi到到C Cj j的直达航的直达航 班票价由下述矩阵的第班票价由下述矩阵的第i i行，第行，第j j列元素给出（列元素给出（ 表示无表示无 直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间的最直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间的最 廉价路线航费表。廉价路线航费表。 引例引例2 2：最廉价航费表的制定最廉价航费表的制定 4最短路径问题最短路径问题l定义：设P(u,v)是加权图G中从u到v的路径,则该路径上的边权之和称为该路径的权,记为w(P). 从u到v的路径中权最小者 P*(u,v)称为u到v的最短路径.10237411659813 35 512122 210106 6

4、1 15 58 88 87 79 99 9 3 32 22 27 75最短路径算法最短路径算法DijkstraDijkstra算法算法使用范围使用范围: :1)1)寻求从一固定顶点到其余各点的最短路径寻求从一固定顶点到其余各点的最短路径; ;2)2)有向图、无向图和混合图有向图、无向图和混合图; ;3)3)权非负权非负. .算法思路：算法思路：采用标号作业法采用标号作业法, ,每次迭代产生一个永久标号每次迭代产生一个永久标号, , 从而生长一颗以从而生长一颗以v v0 0为根的最短路树为根的最短路树, ,在这颗树上每个在这颗树上每个顶点与根节点之间的路径皆为最短路径顶点与根节点之间的路径皆为最

5、短路径. .10237411659813 35 5 1 1 2 22 21 1 0 06 6 1 15 58 88 87 79 99 9 3 32 22 27 76DijkstraDijkstra算法算法算法步骤S: 具有永久标号的顶点集;l(v): v的标记; f(v):v的父顶点,用以确定最短路径;输入加权图的带权邻接矩阵w=w(vi,vj)nxm.1)初始化 令l(v0)=0,S=; vv0 ,l(v)=;2)更新l(v), f(v)3) 寻找不在S中的顶点u,使l(u)为最小.把u加入到S中,然后对所有不在S中的顶点v,如l(v)l(u)+w(u,v),则更新l(v),f(v), 即

6、l(v)l(u)+w(u,v),f(v)u;3)重复步骤2), 直到所有顶点都在S中为止.7MATLABMATLAB程序（程序（DijkstraDijkstra算法）算法） function min,path=function min,path=dijkstra(w,start,terminaldijkstra(w,start,terminal) ) n=size(w,1); label(start)=0; f(start)=start;n=size(w,1); label(start)=0; f(start)=start; for i=1:nfor i=1:nif i=start if i=

7、startlabel(i)= label(i)=infinf; ; end, endend, end s(1)=start; u=start;s(1)=start; u=start; while length(s)(label(u)+w(u,v) if label(v)(label(u)+w(u,v)label(v)=(label(u)+w(u,v); f(v)=u; label(v)=(label(u)+w(u,v); f(v)=u;end, end, end end, end, end v1=0;v1=0;k= k=infinf; ;for i=1:n for i=1:nins=0; in

8、s=0;for j=1:length(s) for j=1:length(s)if i=s(j) if i=s(j)ins=1; ins=1;end, end end, endif ins=0 if ins=0v=i; v=i;if klabel(v) if klabel(v)k=label(v); v1=v; k=label(v); v1=v;end, end, end end, end, ends(length(s)+1)=v1; s(length(s)+1)=v1; u=v1; u=v1; endendmin=label(terminal); min=label(terminal); p

9、ath(1)=terminal;path(1)=terminal; i=1; i=1; while path(i)=startwhile path(i)=startpath(i+1)=f(path(i); path(i+1)=f(path(i);i=i+1 ; i=i+1 ; endendpath(i)=start; path(i)=start; L=length(path);L=length(path); path=path(L:-1:1);path=path(L:-1:1);8最短路径算法最短路径算法DijkstraDijkstra算法程序的使用说明：算法程序的使用说明：调用格式为调用格式

10、为min,path=min,path=dijkstra(w,start,terminaldijkstra(w,start,terminal) ), , 其中输入变量其中输入变量w w为所求图的带权邻接矩阵，为所求图的带权邻接矩阵，start, start, terminalterminal分别为路径的起点和终点的号码。分别为路径的起点和终点的号码。返回返回startstart 到到terminalterminal的最短路径的最短路径pathpath及其长度及其长度min.min.注意：顶点的编号从注意：顶点的编号从1 1开始连续编号。开始连续编号。9最短路径算法最短路径算法FloydFloyd

11、算法算法使用范围使用范围: :1)1)求每对顶点的最短路径求每对顶点的最短路径; ;2)2)有向图、无向图和混合图有向图、无向图和混合图; ;算法思想算法思想: :直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法依次 递推地构造出递推地构造出n n个矩阵个矩阵D(1), D(2), , D(n), D(n)D(1), D(2), , D(n), D(n)是是 图的距离矩阵图的距离矩阵, , 同时引入一个后继点矩阵记录两点同时引入一个后继点矩阵记录两点 间的最短路径间的最短路径. .10237411659813 35 5 1 1 2 22 21 1 0 06

12、6 1 15 58 88 87 79 99 9 3 32 22 27 710FloydFloyd算法算法算法步骤d(i,j) : i到j的距离;path(i,j): i到j的路径上i的后继点;输入带权邻接矩阵a(i,j).1）赋初值对所有i,j, d(i,j)a(i,j) , path(i,j)j,k=l.2）更新d(i,j) , path(i,j)对所有i,j, 若d(i,k)+d(k,j)d(i,j),则d(i,j)d(i,k)+d(k,j) , path(i,j)path(i,k) , k k+13）重复2)直到k=n+111MATLABMATLAB程序（程序（FloydFloyd算法算

13、法）function D,path,min1,path1=function D,path,min1,path1=floyd(a,start,terminalfloyd(a,start,terminal) ) D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n);D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n); for i=1:nfor i=1:nfor j=1:n for j=1:nif D(i,j)= if D(i,j)=infinfpath(i,j)=j; path(i,j)=j; end, end, endend, end, end for k=1:nfor k

14、=1:nfor i=1:n for i=1:nfor j=1:n for j=1:nif D(i,k)+D(k,j)D(i,j) if D(i,k)+D(k,j)D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);path(i,j)=path(i,k); path(i,j)=path(i,k); end, end, end,endend, end, end,endif if narginnargin=3=3min1=D(start,terminal); min1=D(start,terminal);m(1)=start; m(1)=start;i=

15、1; i=1;path1= ; path1= ; while path(m(i),terminal)=terminal while path(m(i),terminal)=terminalk=i+1; k=i+1; m(k)=path(m(i),terminal); m(k)=path(m(i),terminal);i=i+1; i=i+1;end endm(i+1)=terminal; m(i+1)=terminal;path1=m; path1=m; end end 12最短路径算法最短路径算法FloydFloyd算法程序的使用说明：算法程序的使用说明：1. D, path=1. D, path=floyd(afloyd(a), ), 返回矩阵返回矩阵D, path D, path 。