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1、 第第4 4章章 弹性杆件横截面上弹性杆件横截面上的正应力分析的正应力分析 材料力学材料力学应用平衡原理可以确定静定问题中杆件横截面上的内应用平衡原理可以确定静定问题中杆件横截面上的内 力分量，但内力分量只是杆件横截面上连续分布内力的简力分量，但内力分量只是杆件横截面上连续分布内力的简 化结果。因此，仅仅确定了内力分量并不能确定横截面上化结果。因此，仅仅确定了内力分量并不能确定横截面上 各点内力的大小。这是因为：一般情形下，分布内力在各各点内力的大小。这是因为：一般情形下，分布内力在各 点的数值是不相等的，只有当内力在横截面上的分布规律点的数值是不相等的，只有当内力在横截面上的分布规律 确定之
2、后，才能由内力分量确定杆件横截面上内力在各点确定之后，才能由内力分量确定杆件横截面上内力在各点 的数值。的数值。 第第4 4章章 弹性杆件横截面上的正应力分析弹性杆件横截面上的正应力分析怎样确定横截面上的内力分布规律呢怎样确定横截面上的内力分布规律呢 ？ 内力是不可见的，但变形却是可见的，而且二者之间内力是不可见的，但变形却是可见的，而且二者之间 通过材料的物性关系相联系。因此，为了确定内力的分布通过材料的物性关系相联系。因此，为了确定内力的分布 规律，必须分析和研究杆件的变形，必须研究材料受力与规律，必须分析和研究杆件的变形，必须研究材料受力与 变形之间的关系，即必须涉及变形协调与物性关系两
3、个重变形之间的关系，即必须涉及变形协调与物性关系两个重 要方面。二者与平衡原理一起组成分析弹性体内力分布规要方面。二者与平衡原理一起组成分析弹性体内力分布规 律的基本方法律的基本方法。 第第4 4章章 弹性杆件横截面上的正应力分析弹性杆件横截面上的正应力分析第第4 4章章 弹性杆件横截面上的正应力分析弹性杆件横截面上的正应力分析 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 杆件横截面上的正应力分析杆件横截面上的正应力分析 正应力公式的推广与应用正应力公式的推广与应用 结论与讨论结论与讨论第第4 4章章 弹性杆件横截面上的正应力分析弹性杆件横截面上的正应
4、力分析 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 返回返回总目录 实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变 形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关，形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关， 而且与截面的几何形状有关。而且与截面的几何形状有关。 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，不同的分布内力系，组成不同的内力分量时， 将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的 大小有关，而且与截面的几何形状有关。大小有关，而且与截面的几何形状有关。第第4 4章章 弹性杆件横截
5、面上的正应力分析弹性杆件横截面上的正应力分析 不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同 的几何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面 的几何形状有关。第第4 4章章 弹性杆件横截面上的正应力分析弹性杆件横截面上的正应力分析FNMz称为横截面对于z轴的惯性矩研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及 强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形 的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何 量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性
6、半径、极 惯性矩、惯性积、主轴等。惯性矩、惯性积、主轴等。 第第4 4章章 弹性杆件横截面上的正应力分析弹性杆件横截面上的正应力分析 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩 组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩的计算方法
7、的计算方法 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 z zy yO Od dA Ay yz z图形对于图形对于 y y 轴的静矩轴的静矩图形对于图形对于 z z 轴的静矩轴的静矩 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 Az zy yO Od dA Ay yz zz zy yO Oz zC CC Cy yC C分力之矩之和分力之矩之和合力之矩合力之矩 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 预备知识预备知识
8、与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 静矩与形心坐标之间的关系静矩与形心坐标之间的关系 已知静矩可以确定图形的形心坐标已知静矩可以确定图形的形心坐标 已知图形的形心坐标可以确定静矩已知图形的形心坐标可以确定静矩 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 对于组合图形对于组合图形 静矩、形心及其相互关系静矩、形心及其相互关系 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的
9、截面图形的几何性质 惯性矩、极惯性矩、惯性积惯性矩、极惯性矩、惯性积 、惯性半径、惯性半径 图形对图形对 y y 轴的轴的惯性矩惯性矩图形对图形对 z z轴的轴的惯性矩惯性矩图形对图形对 y z y z 轴的轴的惯性积惯性积图形对图形对 O O 点的点的极惯性矩极惯性矩z zy yO Od dA Ay yz zr rA A 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 图形对图形对 y y 轴的轴的惯性半径惯性半径图形对图形对 z z 轴的轴的惯性半径惯性半径z zy yO Od dA
10、 Ay yz z 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 0 0 0 0, 0z zy yO Od dA Ay yz z 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 z zy yO Od dA Ay yz zr rA A 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何
11、性质 已知：圆截面直径d 求：Iy， Iz， IPd dr rd dr rd dA AC Cy yz z 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 例 题 1解：取圆环微元面积 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 已知：矩形截面b h 求：Iy， IzC Cy yz zb bh h z zd dz zd dA Ay yd dy yd dA A 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 解：取平行于x轴和y轴的微元面积例 题 2 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性
12、质的截面图形的几何性质 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 移轴定理（移轴定理（parallel-axis theoremparallel-axis theorem）是指图形对于是指图形对于 互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已 知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另 一对坐标的惯性矩与惯性积。一对坐标的惯性矩与惯性积。 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 预备知识预备知识
13、与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 A Az zy yO Od dA Ay yz zz z1 1y y1 1O O y1=yaz1=zb 已知： Iy、Iz、Iyz求： Iy1、Iz1、Iy1z1y y1 1z z1 1ab 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 y y1 1= =y ya az z1 1= =z zb b z zy yO Od dA Az z1 1y y1 1O O y yz zy y1 1z z1 1ab 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积
14、的移轴定理 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 如果如果y y、z z轴通过图形形心，上述各式中的轴通过图形形心，上述各式中的S Sy yS Sz z0 0， 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 因为面积及包含因为面积及包含a a2 2、b b2 2的项恒为正，故自形的项恒为正，故自形 心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。 a a、b b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，为原坐标系原点在新坐标系中的坐标， 要要 注意二者的正负号；二者同号时注意二者的正负号；二者同号时abAabA为正，异为正，异 号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能 减少。减少。 惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的移轴定理 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 预备知识预备知识与应力分析相关与应力分析相关的截面图形的几何性质的截面图形的几何性质 惯性矩与惯性积的转轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理 所谓所谓转轴定理转轴定理（rotation-a
