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1、 二项式系数的性质制作：杨同官（问题解决教学法试验课）X复习1。什么叫二项式定理？通项公式？2。什么叫二项式系数？项的系数？ 它们之间有什么不同？二项式系数的性质( a + b )1 1 1( a + b )2 1 2 1( a + b )3 1 3 3 1( a + b )4 1 4 6 4 1( a + b )5 1 5 10 10 5 1( a + b )6 1 6 15 20 15 6 1 递推法这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书 里，记载着类似下面的表：一 一 一一 二 一一 三 三 一一 四 六 四 一一 五 十 十
2、 五 一一 六 十五 二十 十五 六 一这个表称为杨辉三角。在详解九章算法一书里， 还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的 和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数 学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现 这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学 家帕斯卡（Blaise Pascal,1623年1662年）首先发现的，他 们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现 要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是 非常值得中华民族自豪的。定义域0,1,2, ,n 61420O63rf ( r )令当n= 6时,其图象是7个 孤立点1.对称
3、性 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等 。2.增减性与最大值3.各二项式系数和当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当n是偶数时，中间的一项 取得最大时 ；当n是奇数时，中间的两项 ， 相等，且同时取得 最大值。例一、选择填空： 1.( 1 x ) 13 的展开式中系数最小的项是 （ ）(A)第六项 (B)第七项 （C）第八项 (D)第九项2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一 个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不 亮的可能性的种数为 （ ）(A)20 (B)219 （C）220 (D
4、)220 1CD4或5-2 -1094 1093例二、已知 的展开式中只有第10项系数最大，求第五项。 解：依题意， 为偶数，且变式：若将“只有第10项”改为“第10项”呢？解：（1） 中间项有两项：（2）T3， T7 ， T12 ， T13 的系数分别为：例三、已知二项式 ( a + b )15 （1）求二项展开式中的中间项；（2）比较T3， T7 ， T12 ， T13各项系数的大小，并说明理由。例四、已知a,bN，m,n Z ，且2m + n = 0，如果二项式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求 a : b 的取值范围。 解：令m (12 r )+ nr = 0，将 n =2m 代入，解得 r = 4故T5 为常数项，且系数最大。作业 书P111习题10.4 8,9,10苏大P126 73课 18小结（1） 二项式系数的三个性质。（2） 数学思想：函数思想。a 单调性；b 图象； c 最值。 （3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法研究题：求二项式 ( x + 2) 7 展开式中系数最大的 项，试归纳出求形如( ax + b) n 展开式中系数最大 项的方法或步骤。解：设最大项为 ，则：即即则展开式中最大项为
