蒙特卡罗随机方法

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1、蒙特卡罗模拟方法 报 告 人 ：杨林 吴颖 科 目 ：项目风险管理任课教师 ：尹志军蒙特卡罗模拟方法 一、蒙特卡罗方法概述 二、蒙特卡罗方法模型 三、蒙特卡罗方法的优缺点及其适用范围 四、相关案例分析及软件操作 五、问题及相关答案Monte Carlo方法的发展历史 早在17世纪，人们就知道用事件发生的“ 频率”来决定事件的“概率”。从方法特征的 角度来说可以一直追溯到18世纪后半叶的 蒲丰（Buffon）随机投针试验，即著名的 蒲丰问题。1707-1788 1777年，古稀之年的蒲丰在家中请来 好些客人玩投针游戏（针长是线距之半） ，他事先没有给客人讲与有关的事。客 人们虽然不知道主人的用意

2、，但是都参加 了游戏。他们共投针2212次，其中704次 相交。蒲丰说，2212/704=3.142，这就是 值。这着实让人们惊喜不已。例蒲丰氏问题 设针投到地面上的位 置可以用一组参数（x,）来 描述，x为针中心的坐标， 为针与平行线的夹角，如图 所示。 任意投针，就是意味着 x与都是任意取的，但x的 范围限于0，a，夹角 的范围限于0，。在此 情况下，针与平行线相交的 数学条件是针在平行线间的位置 一些人进行了实验，其结果列于下表 ：实验者年份投计次数的实验值沃尔弗(Wolf)185050003.1596斯密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1

3、419拉查里尼 (Lazzarini)190134083.141592920世纪四十年代，由于电子计算机的出现，利用电子计算机可 以实现大量的随机抽样的试验，使得用随机试验方法解决实际 问题才有了可能。其中作为当时的代表性工作便是在第二次世界大战期间，为 解决原子弹研制工作中，裂变物质的中子随机扩散问题，美国 数学家冯.诺伊曼（Von Neumann）和乌拉姆（Ulam）等提出 蒙特卡罗模拟方法。 由于当时工作是保密的，就给这种方法起 了一个代号叫蒙特卡罗，即摩纳哥的一个赌城的名字。用赌城 的名字作为随机模拟的名称，既反映了该方法的部分内涵，又 易记忆，因而很快就得到人们的普遍接受。蒙特卡罗方

4、法的基本思想 蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。 它是以概率统计理论为基础的一种方法。 由蒲丰试验可以看出，当所求问题的解 是某个事件的概率，或者是某个随机变量 的数学期望，或者是与概率、数学期望有 关的量时，通过某种试验的方法，得出该 事件发生的频率，或者该随机变量若干个 具体观察值的算术平均值，通过它得到问 题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想 。 因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机 试验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服 从某种分布密度函数f(r)的随机变量(r)的数学期望 通过某种试验，得到个观察值r1，r2，rN（ 用概率语言来说，从分布密度函数f(r)中抽取个子 样r

5、1，r2，rN，），将相应的个随机变量的值 g(r1)，g(r2)，g(rN)的算术平均值作为积分的估计值（近似值）。 计算机模拟试验过程 计算机模拟试验过程，就是将试验过 程（如投针问题）化为数学问题，在计算 机上实现。模拟程序l=1; d=2; m=0; n=10000 for k=1:n; x=unifrnd(0,d/2); y=unifrnd(0,pi); if x0.5*1*sin(y) m=m+1 else end end p=m/n pi_m=1/p建立概率统计模型收集模型中风险变量的数据 ， 确定风 险因数的分布函数根据风险分析的精度要求，确 定模拟次数 样本值统计分析，估计均

6、 值，标准差根据随机数在各风 险变量的概率分布中 随机抽样，代入第一 步中建立的数学模型建立对随机变量的抽样 方法，产生随机数。例子某投资项目每年所得盈 利额A由投资额P、劳动 生产率L、和原料及能 源价格Q三个因素。收集P,L,Q数据，确定分布函 数模拟次数N；根据分 布函数，产生随机数抽取 P,L,Q一 组随机 数，带 入模型产生 A值统计分析，估计 均值，标准差根据历史数据，预测未来。模型建立的两点说明 Monte Carlo方法在求解一个问题是， 总是需要根据问题的要求构造一个用于 求解的概率统计模型，常见的模型把问 题的解化为一个随机变量 的某个参 数 的估计问题。 要估计的参数 通

7、常设定为 的数学 期望（亦平均值，即 ）。按 统计学惯例， 可用 的样本 的平均值来估计，即 这时就必须采用主观概率,即由专家做出主观估计得到的 概率。 另一方面,在对估测目标的资料与数据不足的情况下,不可 能得知风险变量的真实分布时,根据当时或以前所收集到 的类似信息和历史资料,通过专家分析或利用德尔菲法还 是能够比较准确地估计上述各风险因素并用各种概率分 布进行描述的。 Crystal ball软件对各种概率分布进行拟合以选取最合适 的分布。收集模型中风险变量的数据 ， 确定 风险因数的分布函数抽样次数与结果精度解的均值与方差的计算公式 ：是随机变量X的方差，而称 为估计量方差。通常蒙特卡

8、罗模拟 中的样本量n很大，由统计学的中心极限定理知 渐进正态分布 ，即：从而式中位小概率，1- 称为置信度： 是标准正态分布中与对应的临界值， 可有统计分布表查得。由得统计学上称为与置信水平对应的置信区间：我们就把 记做是误差得到人们习惯的结果误差表示：对于指定的误差,模拟所需抽样次数n可由 导出：随机数 随机数的定义用Monte Carlo方法模拟某过程时，需要产生各种概率分布的随机 变量。最简单、最基本、最重要的随机变量是在0，1上均匀 分布的随机变量。由该分布抽取的简单子样称为随机数序列，其 中每一个体称为随机数。随机数属于一种特殊的由已知分布的随 机抽样问题。随机数是随机抽样的基本工具

9、。0，1上均匀分布（单位均匀分布），其分布密度函数为：分布函数为：特征：独立性、均匀性随机数的产生方法 随机数表 物理方法 计算机方法随机数表 随机数表是由0,1,2,9十个数字组成， 每个数字以0.1的概率出现，数字之间相 互独立。 方法：如果要得到n位有效数字的随机数 ，只需将表中每n个相邻的随机数字合并 在一起，且在最高位的前边加上小数点即 可。例如：某随机数表第一行数字为7634258910，要想 得到三位有效数字的随机数依次为：0.763，0.425， 0.891物理方法 基本原理：利用某些物理现象，在计算机 上增加些特殊设备，可以在计算机上直接 产生随机数。 缺点：无法重复实现费用

10、昂贵计算机方法 在计算机上产生随机数最实用、最常见的 方法是数学方法，即用如下递推公式：产生随机数序列，对于给定的初始值 ， 确定 ，n=1,2存在的问题：1，不满足相互独立的要求2，不可避免的出现重复问题所以成为伪随机数问题的解决：1.选取好的递推公式 2.不是本质问题产生伪随机数的乘同余方法乘同余方法是由Lehmer在1951年提出来的，它的一般形式是：对 于任一初始值x1，伪随机数序列由下面递推公式确定：为乘子， 为种子（初值）；M成为模数。上式表示 是 被M 整除后的余数，叫做 与 对模 M的同余。利用乘同余法产生伪随机数的步骤如下： （1）取种子 、乘子 、和模数M； （2）由式（1

11、）获得一系列 ， .； （3）由式（2）得到一系列 ， 。这就是所要产生的伪随机数 的序列乘同余方法在计算机上的使用 为了便于在计算机上使用，通常取 ： =2s 其中s为计算机中二进制数的最大可能有效位数 x1= 奇数 a = 52k+1 其中k为使52k+1在计算机上所能容纳的 最大整数，即a为计算机上所能容纳的5的最大 奇次幂。一般地，s=32时，a=513；s=48， a=515等。伪随机数序列的最大容量(M)=2s-2 。 乘同余方法是使用的最多、最广的方法， 在计算机上被广泛地使用。用MATLAB产生随机数 语言：连续均匀分布的函数表达式为R=unifrnd(A,B) 演示：for

12、n=1:100;k=unifrnd(0,1)end随机抽样及其特点 由巳知分布的随机抽样指的是由己知 分布的总体中抽取简单子样。随机数序列 是由单位均匀分布的总体中抽取的简单子 样，属于一种特殊的由已知分布的随机抽 样问题。下表所叙述的由任意已知分布中 抽取简单子样，是在假设随机数为已知量 的前提下，使用严格的数学方法产生的。 直接抽样方法 对于任意给定的分布函数F(x)，直接抽样方法如下 ： 其中，1，2，N为随机数序列。为方便起见 ，将上式简化为： 若不加特殊说明，今后将总用这种类似的简化形 式表示，总表示随机数。离散型分布的直接抽样方法 对于任意离散型分布： 其中x1，x2，为离散型分布

13、函数的跳跃点，P1， P2，为相应的概率，根据前述直接抽样法，有离散型 分布的直接抽样方法如下： 该结果表明，为了实现由任意离散型分布的随机抽 样，直接抽样方法是非常理想的。 例1. 二项分布的抽样 二项分布为离散型分布，其概率函 数为： 其中，P为概率。对该分布的直接抽 样方法如下： 例2. 掷骰子点数的抽样 掷骰子点数X=n的概率为： 选取随机数，如 则 在等概率的情况下，可使用如下更简单的 方法： 其中表示取整数。连续型分布的直接抽样方法 对于连续型分布，如果分布函数 F(x) 的反函数 F1(x)存在，则直接抽 样方法是 ：例3. 在a，b上均匀分布的 抽样 在a，b上均匀分布的分布函

14、数 为： 则 由任意已知分布中抽取简单子样的 方法还包括，挑选抽样方法，复合抽样 方法，复合挑选抽样方法，替换抽样方 法。圆内均匀分布抽样要用到挑选抽样 方法，指数分布函数抽样要用到复合抽 样方法，正态分布的抽样和分布的抽样 要用到替换抽样方法等。每种方法各有 其优缺点和使用范围。常用概率分布的抽样公式 分布名称抽样公式注a，b均匀分布 指数分布正态分布三角分布a，b，c为三角分布 的参数分布r，s为函数参数三角分布三角形概率分布是一种应用较广连续型概率分布,它是 一种3点估计: 特别适用于对那些风险变量缺乏历史统 计资料和数据,但可以经过咨询专家意见,得出各参数变 量的最乐观值( a) ,最可能出现的中间值( b)以及最悲观 值(m ) ,这3个估计值( a,b, m )构成一个三角形分布。实际上，Matlab软件为我们提供了一 种简单快捷的产生各种常用分布随机数的 方法。其功能和特点：（1）界面友好，编程效率高。（2）功能强大，可扩展性强。（3）强大的数值计算功能和符号计算 功能。（4）图形功能灵活方便。 Matlab常用的随机数产生函数函数名调用形式函数注释betarndR=betarnd(A,B)分布随机数产生函数binornd