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1、第3节 逆矩阵(inverse matrix) 3.1 逆矩阵的概念3.2 方阵可逆的充分必要条件3.3 逆矩阵的应用下页3.1 逆矩阵的概念解方程组解：将其写成矩阵方程两边都左乘矩阵F得从而得方程组的解:下页那么,F 矩阵 是怎么得到 的呢？第3节 逆矩阵逆矩阵概念的引入定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得ABBAE， 那么矩阵A称为可逆的，而B称为A的逆矩阵.可逆矩阵的定义这是因为，如果B和B1都是A的逆矩阵，则有ABBAE， AB1B1AE于是 BB1 .EB1( BA)B1B(AB1)BE定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.逆矩阵的唯一性下页记为A1 .由于A，B
2、位置对称，故A，B互逆，即BA1 AB1 3.2 方阵可逆的充分必要条件A11A21 An1 A12A22 An2A1nA2n Ann 定义2 由矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记为A* .即a11a12 a1n a21a22 a2nan1an2 ann A 的代数余子式构成的矩阵 A11A21 An1 A12A22 An2A1nA2n Ann A* =下页例1. 求 的伴随矩阵A*. 解:同理 A13=1， A21=-2， A22=1， A23=-1， A31=-1， A32=2， A33=1因此A的伴随矩阵 A11A21A31 A12A22A32 A13A23A33三阶矩阵A的伴随矩阵A*为 ，
3、下页定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且其中A*为方阵A的伴随矩阵.所以|A|0.设A可逆，故|A|A1|E|1，使AA1E ,即有A1， 证：必要性. A*，1 |A|A1定义3 对于n阶矩阵A，若行列式|A|0，则称A是奇异的 (或降秩的或退化的)，否则称A为非奇异的(或满秩的或非退 化的) .下页方阵可逆的充分必要条件a11a12 a1n a21a22 a2nan1an2 ann A11A21 An1 A12A22 An2A1nA2n Ann AA*|A|E|A|000 |A|0 00|A| 充分性.定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且其中A*为方阵A
4、的伴随矩阵.证： A*，1 |A|A1B A*1 |A|取A( A* )1 |A|则有 AB AA*1 |A| 注意： |A| E1 |A|=E .同理可证BAE . 因此A可逆， A* .1 |A|且A1(即 AB = E.)下页 A* .1 |A|A1 矩阵 A 可逆 |A|0；例2求矩阵 A的逆矩阵. 2 311200 512 311200 51解: 因为20， 所以A可逆. 又因为A12 A13A11 A22 A23A21 A32 A33A31A*1075 2 22211，所以 A*1 |A| 1 2A11075 2 2221157/25/2 1 1111/21/2 .|A|下页讨论：
5、(1)如何求二阶矩阵 A 的逆矩阵。a11 a21a12 a22提示：A*A11 A12A21 A22a22 a21a12a11 ，a11a22a12a21，a11 a21a12 a22|A| A*1 |A|A1a22 a21a12a11 .1 a11a22a12a21下页(2)如何求对角矩阵的逆矩阵。(1)(2)推论这一结论说明，如果要验证矩阵B是矩阵A的逆矩阵，只要 验证一个等式ABE或BAE即可.下页例3设n阶矩阵A满足aA2+bA+cEO，证明A为可逆矩阵，并求A1(a, b, c为常数，且c0) .又因c0，故有aA2+bA cE， 解: 由aA2+bA+cEO，有c1(aA2 +b
6、A) E，即 c1(aA+bE )AE，因此A可逆，且A1 c1aA c1bE .下页可逆矩阵的性质3. (AB )1B 1A1.因为(AB)(B1A1) A(BB1)A1AEA1AA1E所以(AB )1B 1A1.2. (lA )1l1A1.1. (A1)1A.4. (AT )1(A1)T .因为 AT(A1)T (A1A)TETE， 所以 (AT )1(A1)T .5. |A1|=|A|1 .下页应当指出，A，B可逆，A+B未必可逆. 即使A+B可逆，但一般地 例如显然A、B可逆， 但因为 |A+B|=0,故A+B不可逆.当A=B时，而不是 下页线性方程组 的矩阵形式为 其中 若A可逆，
7、AX=b两边左乘A-1，得 X=A-1b这就是线性方程组解的矩阵表达式. 下页用逆矩阵求解线性方程组3.3逆矩阵的应用例5. 利用逆矩阵求解方程组 解: 将方程组写成矩阵形式 计算得 ，故A可逆. 因而有 ，即 下页A1 ，313215/2113/2132242331 例4设A ， B ， C .5231132310求矩阵X 使AXBC . 5321B1 ，解:X 313215/2113/2132310532121010144 .下页XA1CB1 为什么？用逆矩阵求解矩阵方程132242331 例4设A ， B ， C 。5231132310求矩阵X 使AXBC。 解： XA1CB1 2101
8、0144 。注：求解矩阵方程下页例5. 设三阶矩阵A,B满足关系式 ，且求矩阵 B.解: 由于A可逆， 将等式 两端右乘 有 ，整理得 ,于是 故 ，下页练习下页1、设设，则则（ ） 2、设为三阶方阵， 为的伴随矩阵，已知，计算练习解: 1. 由A2-A-2E=O，得所以A-E可逆，正确选项为 2. 由ABCE, 可得BC为A的逆阵，所以BCAE,正确选项为 1、设 n 阶矩阵A满足A2-A-2EO，则必有( ) A=2E； A= - E； A - E可逆； A不可逆 2、设A,B,C均n为阶方阵，且ABC=E，则( )ACB=E； CBA=E ； BAC=E ； BCA=E 下页作业： 86
9、页 30结束1. AAAA|A|E ;3. 若|A|0, 则|A*|=|A|n-1 .2. 若|A|0, 则A|A|A-1 ;下页3.6 伴随矩阵的常用性质4. (AB)*=B*A*5. (kA)*=kn-1A*7. 若A可逆，则(A-1)*=(A*)-16. (A*)T=(AT)*一、初等变换二、初等矩阵三、求逆矩阵的初等行变换法下页第5节 矩阵的初等变换与初等矩阵5.1 初等变换交换第i行与第j行记为rirj .1 5 1 11 2 1 31 9 3 73 8 1 11 2 1 31 9 3 7r2r4 1 5 1 13 8 1 1定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)
10、交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.例如下页第5节 矩阵的初等变换与初等矩阵1131交换第i列与第j列记为cicj .1 5 1 11 2 1 31 9 3 73 8 1 1c1c3 5 29813711113例如下页5.1 初等变换定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.用数k乘以第i行记为kri .1 5 1 11 2 1 31 9 3 73 8 1 14r2 4 481211
11、511 39 731 8 1例如下页5.1 初等变换定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.用数k乘以第i列记为kci .1 5 1 11 2 1 31 9 3 73 8 1 14c3 441241 511 2 31 9 73 8 1例如下页5.1 初等变换定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第i行的k倍加到第j行记为rj+k
12、ri .1 5 1 11 2 1 31 9 3 73 8 1 1r33r1 1 5 1 11 2 1 31 9 3 70 7 2 4例如下页5.1 初等变换定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第i列的k倍加到第j列记为cj+kci .1 5 1 11 2 1 31 9 3 73 8 1 1c3+c1 02421 511 2 31 9 73 8 1例如下页5.1 初等变换定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)
13、以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) . E(2, 4) 例如，下面是几个4阶初等矩阵：1000 0100 0010 0001E000110000010 0100r2r4 E(2, 4) 1000 0100 0010 0001E 0 0 0 11 0 0 00 0 1 00 1 0 0c2c4 下页5.2 初等矩阵E(3(4) 1000 0100 0010 0001E00401000 010000014 r3 E(3(4) 1000 0100 0010 0001E0 0 4 0100 010 000 0014 c3 下页定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵（
