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1、学案2 古典概型与几何概型 名师伴你行考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四名师伴你行返回目录 名师伴你行1.随机事件具有如下两个特征（1）试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；（）每一个试验结果出现的可能性相同.这样的随机试验的数学模型称为 .古典概型（古典的概率模型） 2.通常试验中的某一事件是由几个基本事件组成.如 果试验的所有可能结果（基本事件）数为n，随机事件 包含的基本事件数为m，那么事件的概率规定为 （） .3.模拟方法引申的求概率的方法几何概型法（）几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 （面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为
2、几何 概率模型，简称 .返回目录 几何概型（）几何概型的概率计算公式在几何概型中，事件的概率计算公式如下：（）（）几何概型的特点试验中所有可能出现的结果（基本事件）有 ;每个基本事件出现的 .返回目录 构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）可能性相等无限多个返回目录 判断下列命题正确与否.(1)掷两枚硬币，可能出现“两个正面”“两个反 面”“一正一反”3种结果;(2)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同;考点一考点一 基本事件辨析基本事件辨析 名师伴你行返回目录 (3)从-4、-3、-2、-1、0、1、2中
3、任取一数，取到的数 小于0与不小于0的可能性相同;(4)分别从3名男同学、4名女同学中各选一名当代表，那么每个同学当选的可能性相同;(5) 5个人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同.【分析分析】弄清基本事件的个数及概率计算公式.名师伴你行返回目录 【解析解析】所有命题均不正确.（1）应为4种结果，还有一种是“一反一正”.（2）摸到红球的概率为 ，摸到黑球的概率为 ， 摸到白球的概率为 .（3）取到小于0的数字的概率为 ，不小于0的数 字的概率为 . （4）男同学当选的概率为 ，女同学当选的概率为 .（5）抽签有先有后，但每人抽到某号的概率是相同 的.其理由是：假设5
4、号签为中奖签，甲先抽到中奖签的概 率为 ；乙接着抽，其抽中5号签的概率为 = .以此类推，丙抽中5号签的概率为 = .名师伴你行返回目录 弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键.古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同.名师伴你行对应演练对应演练把一枚骰子抛6次，设正面出现的点数为x.(1)求出x的可能取值情况（即全体基本事件）;(2)下列事件由哪些基本事件组成（用x的取值回答）:x的取值为2的倍数（记为事件A）；x的取值大于3（记为事件B）;x的取值不超过2(记为事件C);x的取值是质数(记为
5、事件D).(3)判断上述事件是否为古典概型，并求其概率.返回目录 名师伴你行返回目录 （1）1,2,3,4,5,6.(2)事件A为2,4,6.事件B为4,5,6.事件C为1,2.事件D为2,3,5.(3)是古典概型，其中P(A)= = ,P(B)= = ,P(C)= = ,P(D)= = .名师伴你行返回目录 将骰子先后抛骰2次,计算:(1)一共有多少种不同的结果?(2)其中向上的数字之和是5的结果有多少种?(3)向上的数字之和是5的概率是多少? 考点二考点二 古典概型古典概型 【分析分析】首先弄清基本事件的个数,而且每个基本事 件发生的概率是相等的,可以用古典概型概率公式P(A)= = 求解
6、.事件A包含的基本事件数试验的基本事件总数名师伴你行返回目录 【解析解析】 (1)先后抛掷两次骰子的基本事件总数如下表:一共有66=36(种)不同的结果.1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)名师伴你行(3)由于骰子是均匀的,将它抛掷2次的所有36种结果
7、 是等可能出现的,其中向上的数之和是5的结果(记为事件 A)有4种,因此,所求的概率P(A)= = .返回目录 (2)在(1)问的36种结果中, 向上的数字之和是5的结果有 (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4种,( 其中(1,4)表示第1次抛掷后向 上的数为1,第2次抛掷后向上 的数为4,其他类似)上面的结果 可用图10-2-1表示,其中不在虚 线框内的各数为相应的2次抛 掷后向上的数之和不为5.名师伴你行本题前两问都用了图表的方法给出了先后两次抛掷 骰子的所有结果和两次点数之和的各种情况,比用列举法给出显得更加直观、清晰，这种方法可有效地防止重复 和遗漏，不失为一种好的方法，
8、如再问两次点数之和为4的倍数的概率是多少，两次点数之和出现概率最高的是 哪种结果等，都是尽收眼底，大家要好好把握此法.返回目录 名师伴你行返回目录 对应演练对应演练把一枚骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现 的点数为m,第二次出现的点数为n.(1)求m和n的和为奇数的概率;(2)求两直线mx+ny-1=0与2x+y-2=0相交的概率.(1)解法一:考察有序数对(m,n),由于1m6,1n6,且 m,nN,可得36个有序数对,符合题意的有序数对,共有2(33)=18对.故所求事件的概率为 = .名师伴你行解法二:记每次投掷骰子出现的总数为奇数的事件为A,则P(A)= = .符合题意的事件
9、即为两次独立重复试验,事件A恰好 发生一次.故所求概率为P2(1)= .返回目录 名师伴你行(2)解法一:由两条直线相交得,m2n.当n=1时,m=1,3,4,5,6;当n=2时,m=1,2,3,5,6;当n=3时,m=1,2,3,4,5;当n=4或n=5或n=6时,m=1,2,3,4,5,6.故符合m2n的有序数对(m,n)共有35+36=33对.所以所求的概率为 .解法二:由两条直线相交得,m2n.由于只有(2,1),(4,2),(6,3)三对有序数对(m,n)使得m=2n.故所求的概率为1- .返回目录 名师伴你行返回目录 【分析分析】乘客必须在6分钟内的某一时刻到达才能上车, 或者必须
10、在最后的1分钟内的某一时刻到达才能立即上车,乘客在某一时刻到达站台都是一个基本事件,而这基本事件是无限的,于是不能用古典概型计算,应考虑用几何概型计算.已知某地铁列车每5分钟一班,在车站停1分钟,求乘客到达站台立即上车的概率.考点三考点三 与长度、时间有关的几何概型与长度、时间有关的几何概型名师伴你行返回目录 【解析解析】如图,当乘客在AB段的任何时刻到达能上车 ,将AB段记为区域D,其表示的时间为6分钟,仅当乘客在 CB段的任何时刻到达才能立即上车(记该事件为A),将CB 段记为区域d,其表示的时间为1分钟,由于乘客在AB段的 任何时刻到达的结果有无限多个,且都是等可能的,故由几 何概型的概
11、率计算公式得P(A)= . 名师伴你行我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随 机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定 区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解.返回目录 名师伴你行返回目录 对应演练对应演练取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪 断的长度不小于1m的概率有多大?设“剪得两段绳长都不小于1m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的 ，所以事件A发生的概率为P(A)= .名师伴你行返回目录 如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板
12、,上面 画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm,4cm,6cm ，某人站在3m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：(1)投中大圆内的概率是多少?(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少?(3)投中大圆之外的概率是多少?考点四考点四 与面积、体积有关的几何概型与面积、体积有关的几何概型 名师伴你行返回目录 【分析分析】投中正方形木板上每一点(投中线上或没投 中都不算)都是一个基本事件,这一点可以是正方形木板上 任意一点,因而基本事件有无限多个,且每个基本事件发生 的可能性都相等,所以投中某一部分的概率只与这部分的 几何度量(面积)有关,这符合几何概型的条件.
13、【解析解析】记A=投镖击中大圆内,B=投镖击中小圆与中圆形成的圆环,C=投镖击中大圆之外,S正方形=162=256,S大圆=62=36,S中圆=42=16,名师伴你行S小圆=22=4.P(A)= = = ;P(B)= = ;P(C)= = .答:投中大圆内的概率是 ，投中小圆与中圆形成的圆环的概率为 ，投中大圆之外的概率是1- .返回目录 S大圆S正方形 S中圆-S小圆S正方形 S正方形-S大圆S正方形名师伴你行投中线上或没投中不算,因而投中正方形内各部分的任一点都可以是等可能的.几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，既包含本例中的面积，也可以包含线段的长度、体积等，而且这个“几何度量”只与
14、“大小”有关，而与形状和位置无关.返回目录 名师伴你行对应演练对应演练在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从中随机 取出10毫升,含有麦锈病种子的概率是多少?从中随机取出 30毫升,含有麦锈病种子的概率是多少?返回目录 名师伴你行1升=1 000毫升,记事件A:“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”.则P(A)= =0.01,即取出10毫升种子含有这粒带麦锈 病的种子的概率为0.01.记事件B：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”.则P(B)= =0.03,即取30毫升种子含有带麦锈病的种 子的概率为0.03.返回目录 名师伴你行返回目录 1.1.利用集合的观点研究古典概型的概率利用集合的观点研究古典概型的概率设在一次试验中设在一次试验中, ,等可能出现的等可能出现的n n个结果构成一个集合个结果构成一个集合I, I, 包含包含mm个结果的事件个结果的事件A A对应于对应于I I的含有的含有mm个元素的子集个元素的子集A,A,则则 事件事件A A发生的概率为发生的概率为P(A)=
