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1、 概率论与数理统计第十八讲从前面两节的讨论中可以看到: 同一参数可以有几种不同的估计，这时就需 要判断哪一种估计好. 另一方面，对于同一个参数，用矩法和极大似然法即使得到的是同一个估计, 也存在衡 量这个估计优劣的问题.估计量的优良性准则就是：评价一个估计量 “好”与“坏”的标准.7.3 估计量的优良性准则定义1 设总体的参数为，7.3.1 无偏性对一切可能的 成立,对于样本X1,X2,Xn的不同取值,取不同的值.若是一个统计量，是随机变量.注意：称 为 的无偏估计.参数，有时可能估计偏高，有时可能偏低， 但是平均来说它等于. “一切可能的 ”是指：在参数估计问题中 ，参数 一切可能的取值.我
2、们之所以要求对一切可能的 都成立， 是因为在参数估计问题中, 我们并不知道参数 的真实取值. 自然要求它在参数 的一切可 能取值的范围内都成立说明 无偏性的意义是：用估计量 估计 例1 设 X1, X2, , Xn 为来自均值为 的总体的 样本，考虑 的如下几个估计量的无偏性：例如 若 指的是正态总体N( , 2)的均值 ,则其一切可能取值范围是(-,+).若 指 的是方差2，则其一切可能取值范围是 (0,+).解定理1 设总体 X 的均值为,方差为2, X1,X2,Xn 为来自总体 X 的随机样本，记 与 分别为样本均值与样本方差，即即样本均值和样本方差分别是 总体均值 和总体方差 的无偏估
3、计.证明 因为 X1, X2, , Xn 独立同分布，所以这样前面两节中，我们曾用矩法和极大似然法 分别求得了正态总体 N( , 2) 中参数 2 的估计计 ,均为为很显显然，它不是 2 的无偏估计计. 这这正是我 们为们为 什么要将其分母修正为为 n-1，获获得样样本 方差 S2来估计计 2 的理由.例2 求证：样本标准差 S 不是总体标准差 的无偏估计. 证明 因 E(S2)= 2， 所以，D(S)+(E(S)2 = 2， 由 D(S)0，知 (E(S)2 = 2 -D(S) 2. 所以，E(S) . 故，S 不是 的无偏估计.用S 来估计 ，平均来说偏低. 用估计量 估计，估计误差7.3
4、.2 均方误差准则是随机变量，通常用其均值 衡量估计误差的大小.要注意: 为了防止求均值时正、负误差相 互抵消，我们先将其平方后再求均值，并称其 为均方误差，记成 ，即哪个估计的均方 误差小，就称哪个估计比较优，这种判定估计 优劣的准则为“均方误差准则”. 注意：均方误差可分解成两部分:证明上式表明，均方误差由两部分构成：第一 部分是估计量的方差，第二部分是估计量的偏 差的平方和.注意：如果一个估计量是无偏的，则第二 部分是零，则有:如果两个估计都是无偏估计，这时哪个估 计的方差小，哪个估计就较优. 这种判定估计 量优劣的准则称为方差准则.定义例3 设 X1, X2, , Xn 为来自均值为
5、的总 体的样本,考虑 的如下两个估计的优劣：故这两个估计都是 的无偏估计.表明：当用样本均值去估计总体均值时，使用全样本总比不使用全样本要好. 点估计就是利用样本计算出的值 (即实轴 上的点) 来估计未知参数.7.4 正态总体的区间估计(一)优点是：告诉人们 “未知参数大致是多少”；缺点是：并未反映估计的误差范围 (精度). 例如：在估计正态总体均值 的问题中, 若根据一组实际样本，得到 的极大似然估 计为 10.12.一个可以想到的估计办法是：给出一个 区间，并告诉人们该区间包含未知参数 的 概率 (可靠度、置信度、置信水平(系数).实际上， 的真值可能大于10.12，也可 能小于10.12
6、.如：估计某人的身高(cm).甲估计：人的身高为170,180;乙估计：人的身高为150,190;但由于甲估计的区间短，包含该人真正身高 的可能性（概率或置信度）小；乙估计的区 间长，精度差，但置信度比甲的大.甲估计的区间较乙估计的短，故精度较高. 实际中，在保证置信度的条件下，尽可能提高精度，（用区间的长度来度量）与置信度（用估计的区间包含未知量的概率来度量）是矛盾的.精度即区间的长度尽可能短.7.4.1 置信区间的定义 定义1实际应用上，一般取 = 0.05 或 0.01.7.4.2 正态总体均值的区间估计或故也可简记为例1 某厂生产的零件长度 X 服从 N( , 0.04), 现从该厂生
7、产的零件中随机抽取6个，长度 测量值如下(单位:毫米): 14.6, 15.l, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1. 求 的置信系数为0.95的置信区间. 解代入置信区间当方差未知时，取也可简记为例2 为估计一物体的重量，将其称量10次, 得到重量的测量值 (单位: 千克) 如下: 10.l, 10.0, 9.8, 10.5, 9.7, l0.l, 9.9, 10.2, 10.3, 9.9. 设它们服从正态分布 N( , 2). 求 的置信系 数为0.95的置信区间. 解代入置信区间7.4.3 正态总体方差的区间估计例3(续例2) 求2的置信系数为0.95的置信区间.代入解小结本讲首先介绍了估计量的评优准则，包 括：无偏性和均方误差准则；然后介绍了区 间估计的基本概念，详细讨论了正态总体均 值和方差的区间估计.
